Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum, der mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen

1. Für jeden Vektor ${}u\in V$ sind die Zuordnungen

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle u,v\right\rangle ,$

   und

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,u\right\rangle ,$

   ${}K$-linear.

2. Die Zuordnung

   $V\longrightarrow {V}^{*},\,u\longmapsto \left\langle u,-\right\rangle ,$

   ist ${}K$-linear.

3. Wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ nicht ausgeartet ist, so ist die Zuordnung in (2) injektiv. Ist ${}V$ zusätzlich endlichdimensional, so ist diese Zuordnung bijektiv.

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.
(2). Seien ${}u_{1},u_{2}\in V$ und ${}a_{1},a_{2}\in K$. Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$

${}\left\langle a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2},v\right\rangle =a_{1}\left\langle u_{1},v\right\rangle +a_{2}\left\langle u_{2},v\right\rangle \,,$

und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.
(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der Kern davon trivial ist. Es sei also ${}u\in V$ so, dass ${}\left\langle u,-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. D.h. ${}\left\langle u,v\right\rangle =0$ für alle ${}v\in V$. Dann muss aber nach der Definition von nicht ausgeartet ${}u=0$ sein.
Wenn ${}V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach Fakt bijektiv.

$\Box$

Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, beispielsweise ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten.

Definition

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ den Gradienten von ${}f$ in ${}P$. Er wird mit

$\operatorname {Grad} \,f(P)$

bezeichnet.

Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab.

Bei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$, versehen mit dem Standardskalarprodukt, ist der Gradient einfach gleich

${}\operatorname {Grad} \,f(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Bemerkung  

Zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich der Gradient (bezüglich des Standardskalarproduktes) einfach durch partielles Differenzieren berechnen. Es wäre aber eine künstliche Einschränkung, nur diese Situation zu betrachten. Um dies zu illustrieren sei beispielsweise

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Ebene, die etwa als Lösungsmenge der linearen Gleichung ${}5x-4y+9z=0$ gegeben sei. Dann induziert das Standardskalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch Einschränkung ein Skalarprodukt auf ${}E$. Diese Ebene ist zwar isomorph zu ${}\mathbb {R} ^{2}$, es ergibt aber keinen Sinn, das eingeschränkte Skalarprodukt als Standardskalarprodukt anzusprechen. Der Gradient ${}G$ zu ${}f$ in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ lässt sich direkt mit den partiellen Ableitungen zu den drei Raumkoordinaten berechnen. Bei ${}P\in E$ wird im Allgemeinen der Gradient nicht auf ${}E$ liegen. Die eingeschränkte Funktion

$f{|}_{E}\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$

ist aber ebenfalls differenzierbar und besitzt daher einen Gradienten ${}{\tilde {G}}$, der auf ${}E$ liegt, und dieser lässt sich nicht über partielle Ableitungen berechnen, da es auf ${}E$ keine Standardbasis gibt. Übrigens ist ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$.

Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jeden Vektor ${}v\in V$ ist

   ${}\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}}\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \,.$

2. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn ${}v$ linear abhängig zum Gradienten ist.
3. Sei ${}\operatorname {Grad} \,f(P)\neq 0$. Unter allen Vektoren ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.

Beweis

(1) folgt wegen

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle v,\operatorname {Grad} \,f(P)\right\rangle \,$

direkt aus der Abschätzung von Cauchy-Schwarz.
(2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Abschätzung von Cauchy-Schwarz, siehe Aufgabe.
(3). Aus (1) und (2) folgt, dass

${}{\begin{aligned}\vert {\left\langle \operatorname {Grad} \,f(P),\pm {\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}\right\rangle }\vert &=\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(\pm {\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}\right)}}\vert \\&=\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \end{aligned}}$

gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm ${}1$ sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für ${}{\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}$ nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist.

$\Box$

Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor.

Beispiel

Ein Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ legt das Rechteck mit den Eckpunkten ${}\left(0,\,0\right),\,\left(x,\,0\right),\,\left(0,\,y\right),\,\left(x,\,y\right)$ fest. Wenn der Punkt ${}\left(x,\,y\right)$ bewegt wird, bewegt sich das zugehörige Rechteck mit.

In welche Richtung muss der Punkt ${}\left(x,\,y\right)$ bewegt werden, damit der Umfang des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Umfang des Rechteckes ist durch

${}U(x,y)=2x+2y\,$

gegeben, nach Fakt wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung ${}\left(2,\,2\right)$, was insbesondere unabhängig vom gegebenen Eckpunkt ist.

In welche Richtung muss der Punkt ${}\left(x,\,y\right)$ bewegt werden, damit der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Flächeninhalt des Rechteckes ist durch

${}F(x,y)=xy\,$

gegeben, nach Fakt wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung ${}\left(y,\,x\right)$.