Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt

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Es sei

das mit der Zariski-Topologie versehene Spektrum eines kommutativen Ringes . Wenn ein Körper ist, so besteht das Spektrum allein aus einem einzigen Punkt, nämlich dem Nullideal, das zugleich das maximale Ideal ist, und beinhaltet so gesehen sehr wenig Information. Der kontravariante Funktor

verliert also Information. Wir wollen dass Spektrum mit einer zusätztlichen Struktur anreichern, damit man daraus den Ring rekonstruieren kann. Dazu definieren wir eine (Struktur-)Garbe auf dem Spektrum. Zu einem Ring ist dann das Spektrum zusammen mit dieser Strukturgarbe eine sinnvolle Geometrisierung, nämlich ein beringter Raum.


Beispiel  

Es sei das Spektrum eines kommutativen Ringes . Darauf definiert man eine Prägarbe von kommutativen Ringen, indem man zu einer offenen Menge die Festlegung

macht, mit den natürlichen Ringhomomorphismen zu . Dies ist mit den natürlichen Ringhomomorphismen eine Prägarbe. Dabei ist und insbesondere , da das gerichtete System das finale Objekt enthält. Der Halm dieser Prägarbe in einem Punkt ist


Dies ist keine Garbe. Ihre Vergarbung ist die Strukturgarbe auf dem Spektrum.


Definition  

Es sei das Spektrum eines kommutativen Ringes . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring

und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.



Lemma  

Die Strukturgarbe auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes

ist eine Garbe von kommutativen Ringen.

Beweis  

Die angegebene Definition ist einfach die Vergarbung der in Beispiel beschriebenen Prägarbe, wobei wir lediglich die Verträglichkeitsbedingung statt mit beliebigen offenen Umgebungen mit den Basisumgebungen formuliert haben.



Definition  

Das Spektrum eines kommutativen Ringes zusammen mit der Strukturgarbe nennt man das affine Schema zu .

Ein Element nennt man eine auf definierte algebraische (oder rationale oder reguläre) Funktion.

Bemerkung  

Zu einem Integritätsbereich lässt sich die Strukturgarbe besonders einfach beschreiben, zu einer offenen Teilmenge ist einfach

wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen wird, in dem sämtliche Lokalisierungen Unterringe sind. Die Funktionen auf sind also einfach diejenigen rationalen Elemente aus , die in allen Punkten aus definiert sind. Dabei gilt

nach Fakt. Entsprechend gilt . Wenn eine offene Überdeckung vorliegt, so ist



Beispiel  

Wir betrachten über einem Körper . Auf der offenen Menge

ist diejenige Funktion, die auf der (punktierten) Geraden den Wert und auf der (punktierten) Geraden den Wert besitzt, eine algebraische Funktion. Durch diese Festlegung ist für jedes Primideal ein gegeben. Bei

ist eine Beschreibung als Bruch und bei

ist eine Beschreibung als Bruch.


Bemerkung  

Zu einem Integritätsbereich mit Quotientenkörper und einer rationalen Funktion gibt es eine größte offene Menge , auf der definiert ist. Es ist nämlich mit dem sogenannten Nennerideal

Wenn gilt, so ist mit , gehört zum Nennerideal und somit ist . Dieses Argument rückwärts gelesen ergibt die andere Implikation. Die Menge ist der maximale Definitionsort für .




Satz  

Es sei ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist für offene Mengen die Zuordnung

gleich der Strukturgarbe auf .

Beweis  

Die angegebene Zuordnung ist eine Prägarbe von kommutativen Ringen, deren Vergarbung gleich der Strukturgarbe ist. Wir müssen also zeigen, dass diese Prägarbe im faktoriellen Fall bereits eine Garbe ist. Es sei

von verschieden. Wegen der Faktorialität gibt es eine gekürzte Darstellung

Wir behaupten , sei also . Da auf definiert ist, gibt es nach Bemerkung eine Darstellung mit . Dies bedeutet in . Jeder Primfaktor von teilt aber nicht , also muss er teilen. Daher umfasst das Radikal von das Radikal von und somit ist .


Diese Aussage gilt insbesondere für den Polynomring bzw. den affinen Raum.


Beispiel  

Wir betrachten den Integritätsbereich über einem Körper und die offene Teilemenge . Nach Bemerkung ist

eine auf definierte algebraische Funktion, also ein Element aus . Es gibt aber außer den Einheiten kein Element mit , da und irreduzibel sind. Deshalb ist kein Schnitt der Prägarbe aus Beispiel über , aber ein Schnitt ihrer Vergarbung.




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei ein Punkt, der dem Primideal entspreche.

Dann ist der Halm der Strukturgarbe gleich

Beweis  

Dies ergibt sich aus Beispiel und Fakt  (2).




Korollar  

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und Fakt.




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei .

Dann ist

Insbesondere ist der globale Schnittring gleich .

Beweis  

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus . Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

und Elemente

die als Schnitte über

also als Elemente in übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass endlich ist. Ferner können wir die durch ihr Maximum ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler auch ändert). Die Verträglichkeit bedeutet die Existenz von Gleichungen

in , wobei wir als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt  ((2), (4)) erzeugen die , , das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die , , d.h. es gibt mit

Wir setzen

Es ist dann

Dies bedeutet wiederum in , d.h. der Schnitt wird von einem Ringelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf . Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man als neuen Ring ansetzt.




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei .

Dann ist .

Beweis  

Nach Fakt  (3) induziert der kanonische Ringhomomorphismus eine offene Einbettung

Nach Fakt ist links und rechts der Schnittring gleich . Entsprechendes gilt für jede offene Teilmenge , und dadurch ist die Strukturgarbe links und rechts festgelegt, so dass ein Isomorphismus von beringten Räumen vorliegt.