Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt

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Wir zeigen, dass für die Aussagenlogik die Ableitbarkeitsbeziehung mit der Folgerungsbeziehung übereinstimmt. Im Beweisaufbau orientieren wir uns an dem Vollständigkeitssatz für die Prädikatenlogik.


Definition  

Eine Teilmenge zu einer Menge an Aussagenvariablen heißt maximal widerspruchsfrei, wenn widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge widersprüchlich ist.



Lemma

Es sei die Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und es sei eine Wahrheitsbelegung der Variablen mit zugehöriger Interpretation .

Dann ist maximal widerspruchsfrei.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Lemma  

Es sei eine Menge an Aussagenvariablen und eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für jedes ist entweder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Es ist genau dann, wenn und .
  4. Es ist genau dann, wenn oder .

Beweis  

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl als auch zu gehören. Wenn weder noch zu gehören, so ist entweder oder widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck sowohl

als auch

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

und

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

folgt. Dies bedeutet aber, dass widersprüchlich ist.
(2). Sei . Nach (1) ist oder . Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist .
(3) folgt aus (2) und der Konjunktionsregel.
(4). Aufgrund von (1) und Aufgabe müssen wir die Äquivalenz genau dann, wenn und zeigen. Dies ergibt sich aus (3).


Oben haben wir gesehen, dass Interpretationen maximal widerspruchsfreie Ausdrucksmengen liefern. Davon gilt auch die Umkehrung.



Lemma  

Es sei eine Menge an Aussagenvariablen und eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.

Dann ist erfüllbar.

Beweis  

Da maximal widerspruchsfrei ist, gilt nach Fakt  (1) für jede Aussagenvariable die Alternative oder . Wir betrachten die Wahrheitsbelegung

mit der zugehörigen Interpretation . Wir behaupten

was wir über den Aufbau der Sprache beweisen. Der Induktionsanfang ist durch die gewählte Belegung gesichert, der Induktionsschritt folgt aus Fakt.


Wir wollen zeigen, dass jede widerspruchsfreie Ausdrucksmenge erfüllbar ist. Die Strategie ist hierbei, sie zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge aufzufüllen und dann die vorstehende Aussage anzuwenden. Wir unterscheiden die beiden Fälle, wo die Aussagenvariablenmenge abzählbar ist und den allgemeinen Fall einer beliebigen Aussagenvariablenmenge. Letzteres erfordert stärkere mengentheoretische Hilfsmittel, nämlich das Fakt.



Lemma  

Es sei eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.

Dann kann man durch sukzessive Hinzunahme von entweder oder und durch Abschluss unter der Ableitungsbeziehung zu einer maximal widerspruchsfreien Teilmenge ergänzen.

Beweis  

Es sei , , eine (surjektive, aber nicht notwendigerweise injektive) Aufzählung der Aussagenvariablen. Die Voraussetzung bedeutet, dass keinen Widerspruch enthält. Wir konstruieren eine (endliche oder abzählbar unendliche) Folge von aufsteigenden widerspruchsfreien Teilmengen , wobei in für jede Variable , , die Alternative entweder oder gilt. Das Konstruktionsverfahren definieren und diese Aussage beweisen wir durch Induktion über . Für ist dies richtig. Sei schon konstruiert. Bei oder setzen wir

Wegen der Widerspruchsfreiheit von können nicht sowohl als auch zu gehören. Wenn weder noch zu gehören, so setzen wir

(man könnte genauso gut hinzunehmen). Nach Konstruktion ist abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung und erfüllt die (Oder)-Alternative für alle Variablen , . Wenn widersprüchlich wäre, so gelte insbesondere . Dann würde aber auch gelten und somit nach der Fallunterscheidungsregel auch , also im Widerspruch zu dem Fall, in dem wir uns befinden. Daher liegt für die Aussagenvariablen auch die Entweder-Oder-Alternative vor.

Mit dieser induktiven Definition setzen wir

Diese Menge ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der einen Widerspruch enthalten würde, und auch abgeschlossen unter Ableitungen, da dies für die einzelnen gilt und eine Ableitung nur endlich viele Voraussetzungen besitzt. Ferner gilt für jedes die Alternative oder . Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und ist maximal widerspruchsfrei.



Beispiel  

Wir betrachten die Aussagenvariablenmenge und die Ausdrucksmenge

Diese wollen wir zu einer maximal widerspruchsfreien Menge gemäß Fakt ergänzen. Wenn wir im ersten Schritt hinzunehmen, so ergibt sich sukzessive für alle . Es ist dann schon maximal widerspruchsfrei. Wählt man hingegen im ersten Schritt , so gehört weder noch zu . Beim zweiten Schritt hat man dann die Freiheit, ob man oder zur Definition von hinzunimmt, und so weiter.




Lemma  

Es sei eine Menge an Aussagenvariablen und eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.

Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge , die enthält.

Beweis  

Wir betrachten die Menge

mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen ist diese Menge nicht leer. Es sei eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung

ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der enthalten wäre. Also besitzt die Kette in eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei.




Satz  

Es sei eine Menge an Aussagenvariablen und eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.

Dann ist erfüllbar.

Beweis  

Nach Fakt (bzw. Fakt im abzählbaren Fall) kann man zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge auffüllen. Nach Fakt ist erfüllbar, d.h., es gibt eine Wahrheitsbelegung derart, dass unter der zugehörigen Interpretation alle Ausdrücke aus gültig sind. Dann sind unter dieser Belegung insbesondere die Ausdrücke aus gültig.




Satz  

Es sei eine Menge an Aussagenvariablen und eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei .

Dann ist

Beweis  

Dass die Ableitungsbeziehung die Folgerungsbeziehung impliziert, wurde bereits im Rahmen der Korrektheitsüberlegungen zu den Ableitungsregeln gezeigt. Für die Umkehrung nehmen wir an. Dies bedeutet nach Aufgabe, dass widerspruchsfrei ist. Nach Fakt ist dann auch erfüllbar. Es gibt also eine Wahrheitsbelegung mit und . Also ist .