Endomorphismus/Nilpotent/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente ${}0$ seien. ${}M$ hat also die Gestalt

{\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.

Dann ist ${}M$ nilpotent, und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die ${}0$ -Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die ${}i$ -te Zeile und die ${}j$ -te Spalte mit

{}i\geq j-1\,

ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine ${}0$ vor und das Ergebnis ist ${}0$ .

Beispiel

Ein Spezialfall zu Beispiel ist die Matrix

{\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.

Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung ${}e_{n}$ auf ${}e_{n-1}$ abgebildet wird, ${}e_{n-1}$ auf ${}e_{n-2}$ und schließlich ${}e_{2}$ auf ${}e_{1}$ , welches auf ${}0$ abgebildet wird. Die ${}(n-1)$ -te Potenz der Matrix bildet ${}e_{1}$ auf ${}e_{n}$ ab und ist nicht die Nullmatrix, die ${}n$ -te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zu einem Eigenwert ${}\lambda \in K$ besitzt der Hauptraum ${}H=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ die Eigenschaft, dass die Einschränkung von ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ auf ${}H$ nilpotent ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist nilpotent.

Für jeden Vektor ${}v\in V$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit
${}\varphi ^{k}(v)=0\,.$

Es gibt eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit
${}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,.$

für ${}i=1,\ldots ,n$ .

Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ von ${}V$ und ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit
${}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,.$

für ${}i=1,\ldots ,n$ .

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis (oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei ${}k_{j}\in \mathbb {N}$ mit

{}\varphi ^{k_{j}}(v_{j})=0\,

gegeben. Dann erfüllt

{}k:={\max {\left(k_{j},j=1,\ldots ,m\right)}}\,

die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu ${}v\in V$ ist

{}v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\,.

Aufgrund der Linearität von ${}\varphi ^{k}$ ist

{}\varphi ^{k}(v)=\varphi ^{k}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,,

also ist

{}\varphi ^{k}=0\,.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist nilpotent

Das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ ist eine Potenz von ${}X$ .

Das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ ist eine Potenz von ${}X$ .