Facard/Vortrag/1/Textabschnitt

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Der Frobenius

In dieser Vorlesungsreihe möchten wir Singularitäten, gegeben durch einen lokalen kommutativen Ring, mit Hilfe des Frobeniushomomorphismus (in positiver Charakteristik) und mit Hilfe von Differentialoperatoren (über einem Grundkörper beliebiger Charakteristik) verstehen. Zunächst rekapitulieren wir relevante Konzepte in positiver Charakteristik. Die neuen Ergebnisse zu den Differentialoperatoren und wie man damit eine Singularität erfassen kann beruhen auf einer gemeinsamen Arbeit mit Jack Jeffries und Luis Nuñez-Betancourt.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

Mit bezeichnen wir denjenigen -Modul, der als kommutative Gruppe einfach ist, dessen -Modulstruktur aber durch den -ten Frobenius festgelegt ist. Die -te Skalarmultiplikation ist also

Die Menge der -ten Potenzen in wird mit bezeichnet, das ist der Unterring von , der mit dem Bild des Frobeniushomomorphismus übereinstimmt. Wenn reduziert ist, so ist der Frobenius injektiv und man betrachtet zunehmend kleinere Unterringe.

Die Inklusion kann man auch als Erweiterung

verstehen, jedes Element bekommt also eine eindeutig bestimmte -te Wurzel hinzu.


Definition  

Ein noetherscher kommutativer Ring heißt -endlich, wenn der -Modul ein endlich erzeugter -Modul ist.

Wenn -endlich ist, so ist ein endlich erzeugter -Modul für jedes . Diese Eigenschaft gilt für Ringe der Form .


Beispiel  

Auf dem Restklassenkörper ist der Frobeniushomomorphismus die Identität nach dem kleinen Fermat. Auf dem Polynomring

stimmt daher der Frobeniushomomorphismus mit dem Einsetzungshomomorphismus

überein. Daher bilden die Monome , , eine -Basis von . Dabei ist klar, dass ein Erzeugendensystem vorliegt, da man jedes Monom wegen

als

schreiben kann, und das Monom links vom Frobenius herrührt. Da diese Darstellung eindeutig ist, sind die angegebenen Monome auch linear unabhängig. Der -Modul ist also frei von Rang . Die entsprechende Überlegung zeigt, dass frei vom Rang ist.


(Wenn ein Integritätsbereich der Dimension ist, so ist der Rang von ebenfalls gleich .)

Diese Aussage gilt im Wesentlichen auch für lokale reguläre Ringe in positiver Charakteristik. Wichtig ist, dass hiervon sogar die Umkehrung gilt. Der folgende Satz wurde 1969 von Kunz bewiesen und bildet einen wichtigen Startpunkt für die kommutative Algebra in positiver Charakteristik.


Satz

Es sei ein lokaler -endlicher Ring in positver Charakteristik.

Dann ist genau dann regulär, wenn der -Modul frei ist.


So wie nach dem Satz von Kunz die Freiheit von die Regularität des lokalen Ringes in positiver Charakteristik beschreibt, gibt es verschiedene Moduln, deren Freiheit die Regularität des Ringes charakterisiert.

Für einen lokalen noetherschen Ring der Dimension besagt die homologische Charakterisierung der Regularität (Der Satz von Auslander Buchsbaum Serre), dass in der an der -ten Stelle abgebrochenen freien Auflösung des Restklassenkörpers, also

mit frei der „letzte“ -Modul genau dann frei ist, wenn regulär ist.

Für eine lokale -Algebra , die im wesentlichen vom endlichen Typ sei, wird die Glattheit von durch die Freiheit des -Moduls der Kähler-Differentiale charakterisiert. In Charakteristik ist es ein offenes Problem, ob die Freiheit des dazu dualen Modules, nämlich des Moduls der Derivationen, ebenfalls die Glattheit charakterisiert (Zariski-Lipman-Problem; in positiver Charakteristik ist dies falsch).


Wir fragen uns, inwiefern man eine Singularität dadurch beschreiben kann, dass man die Abweichung von der Freiheit von diesen Moduln in einem asymptotischen Sinn misst.




Die F-Signatur

In der oben erwähnten Arbeit von Kunz wurde auch die sogenannte Hilbert-Kunz-Multiplizität eingeführt. Für einen lokalen Ring in positiver Charakteristik ist diese durch

mit definiert. Die Existenz des Limes wurde von Monsky gezeigt. Wenn im wesentlichen von endlichem Typ über einem Körper und ist, so geht es um die -Dimensionen der Restklassenringe. Wegen

kann man diese Dimensionen auch als die minimalen Erzeugendenanzahlen der Modulserie auffassen. Insofern ist die Hilbert-Kunz-Multiplizität ein asymptotisches Maß für diese Serie.

Die genauere -Modulstruktur von im nichtregulären Fall wurde vor allem von Smith und van den Bergh, Seibert, Huneke und Leuschke, Watanabe und Yoshida studiert. Die grundlegende Beobachtung ist, dass wenn eine „milde“ Singularität repräsentiert, dass dann eine gewisse Regelmäßigkeit in der -Modulstruktur von für zu beobachten ist. Wir konzentrieren uns hier auf die sogenannte -Signatur.


Definition  

Es sei ein -endlicher Ring der Dimension in positiver Charakteristik . Zu jedem sei

wobei keinen freien Summanden habe (und maximal mit dieser Eigenschaft sei). Dann nennt man

die -Signatur von .

Die Existenz des Limits wurde von Tucker bewiesen. Die -Signatur ist eine reelle Zahl aus dem Intervall . Es ist unbekannt, ob sie stets eine rationale Zahl ist.

Der folgende Satz wurde (im Kontext von Hilbert-Kunz Theorie) von Watanabe und Yoshida bewiesen. Er stellt bereits sicher, dass die -Signatur ein sinnvolles Singularitätsmaß ist.


Satz

Ein lokaler noetherscher ungemischter Ring in positiver Charakteristik ist genau dann regulär, wenn die -Signatur von gleich ist.

Eine wichtige Beispielklasse wird durch das folgende Resultat abgedeckt.


Satz

Es sei eine endliche kleine Gruppe mit der natürlichen linearen Operation auf dem Polynomring . Die Charakteristik von sei kein Teiler der Gruppenordnung.

Dann besitzt der Invariantenring

die -Signatur

Somit kann die -Signatur insbesondere verschiedene nichtreguläre Ringe voneinander unterscheiden.

Es ist keineswegs so, dass die -Singularität immer eine positive Zahl ist. In einem gewissen Sinne ist dies eher eine Ausnahme.


Definition  

Ein noetherscher Integritätsbereich in positiver Charakteristik heißt stark F-regulär, wenn es zu jedem , , ein derart gibt, dass der von erzeugte -Untermodul (mit ) als -Modul abspaltet.

Das bedeutet, dass wenn man die Skalare zunehmend auf die Unterringe einschränkt, dass nur noch gewisse Frobeniuspotenzen erlaubt sind, dass dann ein direkter Summand entsteht. Man kann die Eigenschaft auch so verstehen, dass es zu jedem , , eine additive Abbildung

mit

gibt, die zusätzlich -linear für ein gewisses ist, was bedeutet, dass links über Potenzen und rechts normal operiert wird. Es gilt also

für alle . Das nennt man auch -linear.

Im Polynomring erzeugt mit der Ausnahme einer konstanten Einheit ein Polynom nie einen direkten Summanden. Wenn man aber größer als den Grad des Polynoms macht, so kann man als Teil einer -Basis von nehmen.

Dieses Konzept ist eng verwandt mit zwei Begriffen, die mit tight closure zusammenhängen, nämlich -regulär und schwach -regulär. Letzteres bedeutet, dass jedes Ideal mit seinem tight closure übereinstimmt, und stark -regulär, wenn diese Eigenschaft auch für jede Lokalisierung gilt. Für Gorenstein-Ringe stimmen die drei Konzepte überein, und es wird vermutet, dass dies immer gilt. Beispielsweise sind direkte Summanden von regulären Ringen -regulär. Dazu gehören normale Monoidringe und Invariantenringe.

Der folgende Satz von Aberbach und Leuschke klärt die Beziehung zwischen -Signatur und starker -Regularität.


Satz

Ein reduzierter -endlicher lokaler exzellenter Ring in positiver Charakteristik ist genau dann stark -regulär, wenn die -Signatur von positiv ist.

Somit liefert die -Signatur nur für eine kleine, aber relevante Klasse von milden Singularitäten ein numerisches Maß. Das unterscheidet sie von der Hilbert-Kunz-Multiplizität, die für alle Ringe ein Singularitätsmaß liefert.


Es sei eine endlich erzeugte -Algebra, also

der Charakteristik . Zu jeder Primzahl erhält man einerseits die Charakteristik Version des Ringes

wobei die Erzeuger des Ideals jeweils modulo zu interpretieren sind ( ist ein Index, nicht die Nenneraufnahme an ). Andererseits gibt es die Charakteristik Version, nämlich

Es liegt also eine Familie

vor und die Fasern sind die Spektra der angegebenen Ringe. Wenn man endlich viele Primzahlen ausschließt, also durch ersetzt, so liegt eine flache Familie vor und man erwartet, dass viele Eigenschaften in der Familie konstant sind. Dies ist für viele wichtige Begriffe wie regulär, normal, Cohen-Macaulay richtig. Ein großes Problem ist es aber, diejenigen Konzepte, die auf den Frobenius in den einzelnen Fasern positiver Charakteristik Bezug nehmen, einheitlich zu erfassen und in Charakteristik zu interpretieren. Das Hauptproblem ist, dass die Frobeniushomomorphismen in jeder einzelnen Charakteristik definiert sind aber keine sinnvolle Familie bilden. Wie verhält sich beispielsweise die -Signatur von , wenn die Charakteristik gegen unendlich läuft. Hier gibt es kein allgemeines konzeptionelles Resultat. Die positiven Resulte sind vom Typ, dass wenn eine bestimmte Art von Ringen vorliegt, etwa Monoidringe oder Invariantenringe, dass dann das Ergebnis konstant ist, da es von sonstigen nicht-Frobenius Invarianten des Ringes abhängt.


In dieser Vorlesungsreihe fragen wir uns, ob es ein sinnvolles Konzept in Charakteristik gibt, dass die Rolle der -Signatur übernehmen kann.


Es gibt im Wesentlichen zwei Ansätze, die -Signatur auf Charakteristik zu übertragen.

Man kann versuchen, den Ring über (im wesentlichen vom endlichen Typ) über zu realisieren und dann die verschiedenen -Signaturen in den Modellen in positiver Charakteristik zu bestimmen und die Primzahl gegen unendlich laufen lassen, also

Die andere Möglichkeit ist, in jeder Charakteristik nach einer Familie , , von -Moduln zu suchen und die zugehörigen Quotienten aus freiem Rang und Rang zu studieren. Wenn man sich an denjenigen Moduln orientiert, deren Freiheit die Regularität bzw. Glattheit charakterisieren, so gelangt man dazu, daraus abgeleitete Familien zu studieren, wie

Dieser Ansatz wurde von Brenner/Caminata verfolgt. Ersteres ist auch in gemischter Charakteristik definierbar, im letzteren Fall ist die direkte Summe davon die Tangentialalgebra des Ringes (das Spektrum davon ist das Tangentialbündel. Allerdings gibt es im singulären Fall mehrere Möglichkeiten, dieses zu definieren).


In dieser Vorlesungsreihe werden wir Modulfamilien studieren, die von Differentialoperatoren herrühren.



Differentialoperatoren auf dem Polynomring


Definition  

Es sei ein Körper. Zu einem Polynom

und , , heißt das Polynom

die formale partielle Ableitung von nach .

Es wird also einfach algebraisch gemäß der üblichen Formel abgeleitet. Wenn ein Vielfaches der Charakteristik des Körpers ist, so kann diese Ableitung „überraschenderweise“ ergeben. Statt schreibt man auch kurz . Insgesamt handelt es sich um eine -lineare Abbildung

Es gilt die Produktregel (oder Leibnizregel)

Diese partiellen Ableitungen kann man miteinander verknüpfen. Hierzu empfiehlt sich Monomschreibweise. Zu einem Tupel (einem Multiindex)

setzen wir

wobei die -fache Hintereinanderschaltung von bezeichnet. Bei dieser Gesamtkomposition kommt es nicht auf die Reihenfolge an, was hier im algebraischen Kontext einfacher ist als der analytische Satz von Schwarz. Die Summe

nennt man die Ordnung der Hintereinanderschaltung. Zu einem Monom ist

wobei zu einem Tupel die Fakultät als

definiert wird und wobei dieser Ausdruck als zu verstehen ist, wenn in einer Komponente negativ ist. Die Operatoren bilden auf ab und sind auch in positiver Charakteristik definiert, allerdings nicht als Hintereinanderschaltung von Derivationen.


Definition  

Es sei ein Körper. Unter einem (formalen) Differentialoperator auf versteht man eine endliche Summe

mit polynomialen Koeffizientenfunktionen , wobei die Indizes Tupel aus sind.

Die Ordnung eines Operators ist das maximale mit . Ein solcher Differentialoperator ist eine -lineare Abbildung

Er führt also polynomiale Funktionen auf dem in ebensolche Funktionen über. Im physikalischen Kontext sind die Koeffizientenfunktionen häufig nur stetige Funktionen auf einer offenen Menge , und da beim Anwenden des Operators der Differenzierbarkeitsgrad heruntergeht, sind die Funktionenräume, die aus hinreichend oft differenzierbaren Funktionen bestehen und die als Definitionsbereich und als Wertebereich auftreten, nicht unbedingt identisch. Die beschriebenen Differentialoperatoren nennt man genauer lineare partielle Differentialoperatoren. Partiell bezieht sich dabei darauf, dass es mehr als eine Variable gibt (sonst spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen) und linear darauf, dass die einzelnen nur mit Koeffizientenfunktionen multipliziert werden, aber beispielsweise nicht quadriert werden. Insbesondere ist der Operator als Abbildung -linear. Ein nichtlinearer partieller Differentialoperator ist beispielsweise der Monge-Ampère-Operator

Hier steht links nicht die Verknüpfung der Operatoren, sondern das Produkt! Die Wirkungsweise auf eine Funktion ist also .

Bemerkung  

Ein Differentialoperator auf

und ein Polynom gibt Anlass zur (linearen) partiellen Differentialgleichung

wobei nach den Lösungen (bzw. realistischer im Ring der hinreichend oft differenzierbaren Funktionen auf dem , ) gesucht wird. Prominente partielle Differentialgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung mit

(in ) oder die Wellengleichung

(in ).



Beispiel  

Den Operator

nennt man den Homogenitätsoperator oder die Euler-Derivation. Er bildet ein Monom auf ab. Allgemeiner wird ein homogenes Polynom von Grad durch diesen Operator auf abgebildet. Die homogenen Polynome vom Grad sind also die Eigenvektoren zum Eigenwert zu diesem Operator.


Bemerkung  

Die Differentialoperatoren haben die besondere Eigenschaft, dass sie auf abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom einen Operator, der dieses Polynom auf abbildet. Wenn die Form

mit einem vom Grad für ein bestimmtes , so ist ein Operator, der auf abbildet.


Wir nennen einen Differentialoperator unitär, wenn es ein Polynom mit

gibt, wobei eine Einheit ist, wenn also die partielle Differentialgleichung eine Lösung besitzt. Durch Übergang zu kann man dann die rechte Seite als ansetzen. Wegen der Existenz der Operatoren gibt es in einem Polynomring viele unitäre Operatoren. Ein Operator wie ist nicht unitär.



Differentialoperatoren auf singulären Räumen
DoubleCone.png

Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf (Funktionen auf) dem glatten Raum wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms betrachten kann. Nennen wir dieses geometrische Objekt , also

Es hat in der Kegelspitze eine Singularität. In jedem anderen Punkt ist er glatt, d.h. man kann (bei oder ) den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass außerhalb der Singularität eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vorliegt. Es gibt also lokal in einer offenen Umgebung zu einem jeden Punkt einen Diffeomorphismus zu einer offenen Menge . Auf einer solchen offenen Menge wissen wir, was die Differentialoperatoren sind. Mit lokalen Koordinaten für hat man lokal die partiellen Ableitungen und und somit auch ihre Verknüpfungen und Multiplikation mit Koeffizentenfunktionen zur Verfügung. Über den Diffeomorphismus überträgt sich dies zurück auf . Im algebraischen Kontext ist diese Überlegung etwas komplizierter und arbeitet mit regulären Ringen.

Ein sinnvoller Differentialoperator auf (Funktionen auf) muss jedenfalls auch auf jeder offenen Menge einen Differentialoperator induzieren, und wenn eine Überdeckung

mit offenen Mengen vorliegt und auf den jeweils ein Differentialoperator gegeben ist, die miteinander verträglich sind in dem Sinne, dass für die Einschränkungen

gilt, so sollte dies von einem Differentialoperator auf ganz herrühren. D.h. man erwartet, dass Differentialoperatoren eine Garbe bilden. Diese naheliegenden Bedingungen legen bereits ein eindeutiges Konzept für Differentialoperatoren auf fest. In der Tat werden diese Operatoren bereits die Operatoren auf ganz sein (die Singularität ist normal).

Achtung: Die partiellen Ableitungen des umgebenden Raumes ergeben keinen Sinn auf . Das Polynom ist ja die Nullfunktion auf ( wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert), es ist aber

auf .

Wir geben nun die allgemeine algebraische Definition für einen Differentialoperator für eine beliebige kommutative -Algebra. Im oben erwähnten Beispiel geht es um den Restklassenring .


Definition  

Es sei eine kommutative -Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle -lineare Abbildungen von nach handelt.

  1. Ein Differentialoperator der Ordnung ist die Multiplikationsabbildung

    zu einem Element .

  2. Ein Differentialoperator der Ordnung ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass für jedes die Abbildung

    ein Differentialoperator der Ordnung ist.

Wir bemerken, dass dieses Konzept für den Polynomring über einem Körper den durch die frei erzeugten Modul ergibt. Eine entsprechende Beschreibung gilt für jeden regulären (glatten) lokalen Ring.

Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) besitzt, wenn er eine Ordnung , aber nicht besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung sind einfach Derivationen, also -lineare Abbildungen , die die Leibniz-Regel

erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als

schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von den Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung . Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.


Lemma

Es sei eine kommutative -Algebra und sei eine -lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Differentialoperator der Ordnung .
  2. Für beliebige Elemente gilt

Wie oben erwähnt induziert ein Differentialoperator auf einem Ring im Allgemeinen keinen Differentialoperator auf einem Restklassenring. Allerdings kann man einfach charakterisieren, welche Differentialoperatoren dies erfüllen. Man beachte, dass es für Derivationen genügt, die Idealbedingung für Idealerzeuger zu überprüfen, dies gilt aber nicht für beliebige Differentialoperatoren.


Lemma

Sei eine kommutative -Algebra und ein Ideal mit Restklassenring

Dann induziert ein Differentialoperator der Ordnung einen Differentialoperator auf der Ordnung , wenn

ist.



Verknüpfung von Differentialoperatoren

Das folgende Lemma zeigt, wie die induktive Definition für Differentialoperatoren typischerweise funktioniert.



Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und es sei ein Differentialoperator der Ordnung und ein Differentialoperator der Ordnung .

Dann ist die Hintereinanderschaltung ein Differentialoperator der Ordnung .

Beweis  

Wir führen Induktion über . Bei ist die Verknüpfung einfach . Im Allgemeinen schreiben wir

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung und der induktiven Definition.

Insbesondere ist die Verknüpfung von Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung . Es muss aber keineswegs jeder Operator der Ordnung ein Verknüpfung von Derivationen sein.


Definition  

Zu einer kommutativen -Algebra bezeichnet man die Menge aller -Differentialoperatoren auf mit der Verknüpfung als Multiplikation als Ring der Differentialoperatoren. Er wird mit bezeichnet.

Nach Fakt ist ein Unterring des Endomorphismenringes .

Die Identität, also die Multiplikation mit , ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist.

Es ist im Allgemeinen schwierig, sich einen Überblick über alle Differentialoperatoren einer -Algebra zu verschaffen. Wir werden uns im Rahmen dieser Vorlesungen auf die folgenden Fragen konzentrieren.

  1. Wie kann man für Monoidringe die Differentialoperatoren beschreiben?
  2. Wie kann man Differentialoperatoren algorithmisch beschreiben?
  3. Kann man über die Anzahl von unitären Differentialoperatoren eine sinnvolle Aussage machen und mit ihnen eine Singularität quantitativ erfassen?