Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien Primideale in und ein Primideal in mit .

Dann gibt es ein Primideal in mit .

Beweis  

Wir betrachten die injektive Abbildung

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal finden, das auf ein vorgegebenes Primideal runterschneidet. Wir lokalisieren an und an , wobei die induzierte Abbildung

nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass ein lokaler Integritätsbereich ist und eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus , das auf das maximale Ideal herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente und mit . Diese Gleichung gilt auch im Unterring . Die Erweiterung ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist und damit . Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus , ein Widerspruch.




Lemma  

Es sei

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

surjektiv.

Beweis  

Sei vorgegeben. Die induzierte Abbildung

ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu

Fakt zeigt, dass es ein Primideal aus gibt, das auf runterschneidet.




Satz  

Es seien und kommutative Ringe und es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

abgeschlossen.

Wenn zusätzlich injektiv ist, so ist surjektiv.

Beweis  

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge mit einem Ideal , dass das Bild

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

nach Fakt surjektiv. Also ist . Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.




Lemma  

Es sei ein Körper, ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung.

Dann ist auch ein Körper.

Beweis  

Es sei , . Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

Wenn ist, so können wir ausklammern und erhalten, da ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass ist. Dann ist

und somit ist eine Einheit.




Lemma  

Es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien Primideale in mit .

Dann ist .

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

Beweis  

Es sei . Wir machen den Übergang

und betrachten die induzierte Abbildung

die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist die Faser von über . Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Sei eine Inklusion von Primidealen aus . Wir gehen zu über. Somit ist ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist selbst ein Körper. Also ist




Satz  

Es sei

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

Beweis  

Zu einer Primidealkette aus ist die Kette nach Fakt ebenfalls echt, so dass

ist. Zu einer Primidealkette aus gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal aus mit . Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette mit fortsetzen. Daher ist auch