Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt

Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien  ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}$  Primideale in ${}R$ und ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ ein Primideal in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$. 

Dann gibt es ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}$  in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}$. 

Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung

$R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},$

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung  ${}R\subseteq S$  von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$  finden, das auf ein vorgegebenes Primideal  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  runterschneidet. Wir lokalisieren ${}R$ an ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}S$ an  ${}R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S$,  wobei die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

nach wie vor injektiv und ganz ist. Wir können also annehmen, dass ${}R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und  ${}R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus ${}S$, das auf das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über ${}{\mathfrak {m}}$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal ${}{\mathfrak {m}}S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$  und  ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$  mit  ${}s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1$.  Diese Gleichung gilt auch im Unterring  ${}T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S$.  Die Erweiterung  ${}R\subseteq T$  ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist  ${}{\mathfrak {m}}T=T$  und damit  ${}T/{\mathfrak {m}}T=0$.  Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus  ${}T=0$,  ein Widerspruch.

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Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

surjektiv.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  vorgegeben. Die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu Fakt zeigt, dass es ein Primideal aus ${}S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$ gibt, das auf ${}{\mathfrak {q}}$ runterschneidet.

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Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

abgeschlossen.

Wenn ${}\varphi$ zusätzlich injektiv ist, so ist ${}\varphi ^{*}$ surjektiv.

Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ 

mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq S$,  dass das Bild

${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\,$

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

$R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\longrightarrow S/{\mathfrak {a}},$

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

$V({\mathfrak {a}})\cong \operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\cong \operatorname {Spek} {\left(R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\right)}$

nach Fakt surjektiv. Also ist  ${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))$.  Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ ein Integritätsbereich und  ${}K\subseteq A$  eine ganze Erweiterung.

Dann ist auch ${}A$ ein Körper.

Beweis

Es sei ${}a\in A$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

${}a^{n}+r_{n-1}a^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_{0}=0\,.$

Wenn  ${}r_{0}=0$  ist, so können wir ${}a$ ausklammern und erhalten, da ${}a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass  ${}r_{0}\neq 0$  ist. Dann ist

${}a\cdot {\left(a^{n-1}+r_{n-1}a^{n-2}+\cdots +r_{1}\right)}\cdot {\left(-r_{0}^{-1}\right)}=1\,$

und somit ist ${}a$ eine Einheit.

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Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien  ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}$  Primideale in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$. 

Dann ist  ${}{\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {q}}$. 

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {r}}:=\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$.  Wir machen den Übergang

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}R_{\mathfrak {r}}=\kappa ({\mathfrak {r}})$

und betrachten die induzierte Abbildung

$\kappa ({\mathfrak {r}})=:K\longrightarrow (S/{\mathfrak {r}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {r}})}=:A,$

die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Faser von ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {r}}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper ${}K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$  eine Inklusion von Primidealen aus ${}A$. Wir gehen zu ${}K\rightarrow A/{\mathfrak {p}}$ über. Somit ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ selbst ein Körper. Also ist

${}{\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\,.$

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Satz

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}=\operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

Beweis

Zu einer Primidealkette  ${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$  aus ${}S$ ist die Kette  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})$  nach Fakt ebenfalls echt, sodass

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,$

ist. Zu einer Primidealkette  ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {q}}_{n}$  aus ${}R$ gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ aus ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$.  Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette  ${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$  mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}$  fortsetzen. Daher ist auch

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

$\Box$