Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt

Lemma

Es sei

$\phi :R⟶S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien  ${𝔮}_0\subseteq {𝔮}_1$  Primideale in $R$ und ${𝔭}_0$ ein Primideal in $S$ mit  ${\phi }^{\ast }({𝔭}_0)={𝔮}_0$. 

Dann gibt es ein Primideal  ${𝔭}_1\supseteq {𝔭}_0$  in $S$ mit  ${\phi }^{\ast }({𝔭}_1)={𝔮}_1$. 

Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung

$R/{𝔮}_0⟶S/{𝔭}_0,$

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung  $R\subseteq S$  von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(S\right)$  finden, das auf ein vorgegebenes Primideal  $𝔮\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  runterschneidet. Wir lokalisieren $R$ an $𝔮$ und $S$ an  $R\setminus 𝔮\subseteq S$,  wobei die induzierte Abbildung

$R_{𝔮}⟶S_{R\setminus 𝔮}$

nach wie vor injektiv und ganz ist. Wir können also annehmen, dass $R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und  $R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus $S$, das auf das maximale Ideal $𝔪$ herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über $𝔪$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal $𝔪S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente  $f_1,\dots ,f_n\in 𝔪$  und  $s_1,\dots ,s_n\in S$  mit  $s_1{f}_1+\cdots +s_n{f}_n=1$.  Diese Gleichung gilt auch im Unterring  $T=R[s_1,\dots ,s_n]\subseteq S$.  Die Erweiterung  $R\subseteq T$  ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist  $𝔪T=T$  und damit  $T/𝔪T=0$.  Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus  $T=0$,  ein Widerspruch.

$◻$

Lemma

Es sei

$\phi :R⟶S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶\mathrm{Spek}\left(R\right)$

surjektiv.

Beweis

Es sei  $𝔮\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  vorgegeben. Die induzierte Abbildung

$R_{𝔮}⟶S_{R\setminus 𝔮}$

ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu Fakt zeigt, dass es ein Primideal aus $S_{R\setminus 𝔮}$ gibt, das auf $𝔮$ runterschneidet.

$◻$

Satz

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei

$\phi :R⟶S$

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶\mathrm{Spek}\left(R\right)$

abgeschlossen.

Wenn $\phi$ zusätzlich injektiv ist, so ist ${\phi }^{\ast }$ surjektiv.

Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge  $V(𝔞)\subseteq \mathrm{Spek}\left(S\right)$ 

mit einem Ideal  $𝔞\subseteq S$,  dass das Bild

${\phi }^{\ast }(V(𝔞))=V({\phi }^{-1}(𝔞))$

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

$R/{\phi }^{-1}(𝔞)⟶S/𝔞,$

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

$V(𝔞)\cong \mathrm{Spek}(S/𝔞)⟶V({\phi }^{-1}(𝔞))\cong \mathrm{Spek}(R/{\phi }^{-1}(𝔞))$

nach Fakt surjektiv. Also ist  ${\phi }^{\ast }(V(𝔞))=V({\phi }^{-1}(𝔞))$.  Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.

$◻$

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $A$ ein Integritätsbereich und  $K\subseteq A$  eine ganze Erweiterung.

Dann ist auch $A$ ein Körper.

Beweis

Es sei $a\in A$, $a\ne 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

$a^n+r_{n-1}{a}^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_0=0.$

Wenn  $r_0=0$  ist, so können wir $a$ ausklammern und erhalten, da $a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass  $r_0\ne 0$  ist. Dann ist

$a\cdot (a^{n-1}+r_{n-1}{a}^{n-2}+\cdots +r_1)\cdot (-r_0^{-1})=1$

und somit ist $a$ eine Einheit.

$◻$

Lemma

Es sei

$\phi :R⟶S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien  $𝔭\ne 𝔮$  Primideale in $S$ mit  ${\phi }^{\ast }(𝔭)={\phi }^{\ast }(𝔮)$. 

Dann ist  $𝔭\subseteq ̸𝔮$. 

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

Beweis

Es sei  $𝔯:={\phi }^{\ast }(𝔭)={\phi }^{\ast }(𝔮)$.  Wir machen den Übergang

$R⟶R_{𝔯}/𝔯R_{𝔯}=\kappa (𝔯)$

und betrachten die induzierte Abbildung

$\kappa (𝔯)=:K⟶(S/𝔯S{)}_{\phi (R\setminus 𝔯)}=:A,$

die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist $\mathrm{Spek}\left(A\right)$ die Faser von ${\phi }^{\ast }$ über $𝔯$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper $K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei  $𝔭\subseteq 𝔮$  eine Inklusion von Primidealen aus $A$. Wir gehen zu $K\to A/𝔭$ über. Somit ist $A/𝔭$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist $A/𝔭$ selbst ein Körper. Also ist

$𝔮=𝔭.$

$◻$

Satz

Es sei

$\phi :R⟶S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

$\dim \left(S\right)=\dim \left(R\right).$

Beweis

Zu einer Primidealkette  ${𝔭}_0\subset {𝔭}_1\subset \dots \subset {𝔭}_n$  aus $S$ ist die Kette  ${\phi }^{\ast }({𝔭}_0)\subset {\phi }^{\ast }({𝔭}_1)\subset \dots \subset {\phi }^{\ast }({𝔭}_n)$  nach Fakt ebenfalls echt, sodass

$\dim \left(S\right)\le \dim \left(R\right)$

ist. Zu einer Primidealkette  ${𝔮}_0\subset {𝔮}_1\subset \dots \subset {𝔮}_n$  aus $R$ gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal ${𝔭}_0$ aus $S$ mit  ${\phi }^{\ast }({𝔭}_0)={𝔮}_0$.  Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette  ${𝔭}_0\subset {𝔭}_1\subset \dots \subset {𝔭}_n$  mit  ${\phi }^{\ast }({𝔭}_i)={𝔮}_i$  fortsetzen. Daher ist auch

$\dim \left(S\right)\ge \dim \left(R\right).$

$◻$