Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 10/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Aufgabe 10.1 ändern

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra, die als -Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe Aufgabe 10.2 ändern

Seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann ist genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Ein kommutativer Ring heißt artinsch, wenn er als -Modul artinsch ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.


Aufgabe Aufgabe 10.5 ändern

Sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

eine endliche -Algebra ist.


Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 10.7 ändern

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass endlich über und endlich über ist. Zeige, dass dann auch endlich über ist.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Man zeige, dass genau dann artinsch ist, wenn und artinsch sind.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und eine endliche -Algebra. Zeige: Dann ist artinsch.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige: Wenn artinsch und -linear und injektiv ist, so ist ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das noethersch ist.




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