Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 5/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge . Zeige, dass für jeden Punkt und jeden Skalar auch ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.
Es sei ein Körper und ein homogenes Polynom. Es sei ein Faktorzerlegung. Zeige, dass und ebenfalls homogen sind.
Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.
Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von
Satz 5.4
und
Korollar 5.5.
Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom an.
Sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve überabzählbar viele Elemente besitzt.
Berechne das Bild des Polynoms
unter dem durch
definierten Einsetzungshomomorphismus
Es sei ein unendlicher Körper und es sei ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung
Zeige mit und ohne Satz 5.11, dass das Bild von einpunktig oder unendlich ist.
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und
Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine polynomiale Abbildung
mit gibt, wenn ist.
Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung
derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die Abbildung
Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte das Ellipsoid
Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ) derart, dass das Bild von unter der Abbildung die Standardkugel wird.
Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Seien und affin-algebraische Mengen in zu . Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.
Zeige ebenso, dass dies bei für und auch für für nicht gilt.
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