Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte in die beiden Ebenen
Parametrisiere den Schnitt .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
- Skizziere und .
- Erstelle eine Gleichung für .
- Bestimme die Schnittpunkte
- Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
- Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen
für die Körper , und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Varietät der kommutierenden - Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare
- Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
- Zeige, dass die Abbildung
surjektiv ist.
- Bestimme das Urbild von unter .
Aufgabe Aufgabe 2.12 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass ein Punkt nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper und eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal , dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte
sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über . Es sei ein Ideal mit Erzeugern
wobei mit sei. Für seien die Elemente aus , die entstehen, wenn man in die Variable durch ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe
vorliegt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme alle Lösungen der Gleichung
für die Körper , und . Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren - Matrizen im keine affin-algebraische Menge ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei das Nullstellengebilde in , das durch die Gleichung
gegeben ist. Der Schnitt von mit einer Ebene ist eine Kurve und wird in durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen
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