Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 29

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass für Rang der Einheitengruppe die Abschätzungen

und

gelten.


Aufgabe *

  1. Zeige die Gleichheit
  2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?


Aufgabe

Wir betrachten auf den von verschiedenen reellen Zahlen die folgende Menge von vier Abbildungen.

  1. Zeige, dass eine kommutativen Gruppe ist. Was ist die Ordnung der Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe?
  2. Die Gruppe operiert in natürlicher Weise auf . Bestimme die Bahnen zu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es Fixpunkte?
  3. Bestimme ein übersichtliches Repräsentantensystem für die Operation aus (2).


Aufgabe

Bestimme für den quadratischen Zahlbereich zu die Fundamentaleinheit .


Aufgabe

Bestimme für den quadratischen Zahlbereich zu die Fundamentaleinheit .


Aufgabe

Bestimme für den quadratischen Zahlbereich zu die Fundamentaleinheit .


Aufgabe

Zeige, dass man Lemma 29.3 auch mit der zweiten Komponente formulieren kann. Zeige ferner, dass die erste Komponente nur in der Fundamentaleinheit minimal ist, während die zweite Komponente mehrfach minimal sein kann.


Aufgabe

Zeige, dass die Einheitengruppe von isomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei . Zeige, dass die Restklasse von in kein Quadrat ist, wohl aber im Quotientenkörper .


Aufgabe

Es sei die Fundamentaleinheit von . Bestimme die multiplikative Ordnung von in für .


Aufgabe *

Beschreibe die logarithmische Ableitung

für mit Hilfe einer Fundamentaleinheit von . Was ist die Ordnung des Bildes einer Fundamentaleinheit?


Aufgabe *

Beschreibe die logarithmische Ableitung

für mit Hilfe einer Fundamentaleinheit von . Was ist die Ordnung des Bildes einer Fundamentaleinheit?


Aufgabe *

Zeige, dass im 15. Kreisteilungsring mit

das Element eine Einheit ist.


Aufgabe *

  1. Bestimme für den 15. Kreisteilungskörper mit

    das Minimalpolynom für .

  2. Es sei der von erzeugte Unterring. Bestimme die Ringautomorphismen von .
  3. Ist eine Einheit in ?
  4. Beschreibe die Einheitengruppe von .


Aufgabe *

Es sei

wobei ist.

  1. Zeige, dass das Element

    zu gehört.

  2. Schreibe als polynomialen Ausdruck in .
  3. Beschreibe als quadratische Erweiterung von .


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ein System von Fundamentaleinheiten von . Es sei das von im Untervektorraum erzeugte Gitter. Zeige, dass zwischen dem Regulator und dem Volumen einer Grundmasche von der Zusammenhang

besteht.



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