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Kurs:Analysis/Teil I/36/Klausur mit Lösungen/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 2 3 3 5 3 5 6 4 4 4 4 5 5 3 1 64




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.
  2. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  3. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  4. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  5. Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
  6. Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion nicht von abhängt.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  2. Es sei die Menge aller Berührpunkte von und

    sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

  3. Es sei ein kompaktes Intervall und sei

    eine stetige Funktion. Dann gibt es ein mit


Aufgabe (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.


Lösung

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.


Aufgabe (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Lösung






























Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine surjektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung

auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches) und dass bijektiv ist.


Lösung

Wegen der Surjektivität von gibt es zu jedem mindestens ein mit . Wir wählen nun zu jedem ein solches zugehöriges . Es sei die Vereinigung all dieser gewählten . Die auf eingeschränkte Abbildung

ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes von einem (dem gewählten) erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem in nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also bijektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Lösung

Es gibt insgesamt Fladenbrote, sodass also jede Person Brote isst. Somit gibt genau Brot an ab und gibt Brote an ab. gibt also -mal soviel ab wie und bekommt daher Taler, und bekommt einen Taler von .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es zu je zwei Elementen eine rationale Zahl (mit ) mit

gibt.


Lösung

Wegen ist und daher gibt es nach Lemma 4.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ein mit . Nach Lemma 4.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es auch ein mit

und ein mit

Daher gibt es auch ein derart, dass

ist. Damit ist einerseits

und andererseits

wie gewünscht.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

was stimmt. Also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

über den Ansatz


Lösung

Der Ansatz

führt auf die beiden reellen Gleichungen

und

Daraus folgt direkt, dass und nicht sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach auf und erhalten

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

Multiplikation mit und umstellen ergibt

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit )

mit den Lösungen

Dabei ist

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von gleich

und


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine reelle Folge und sei

Die Funktion sei durch

festgelegt. Zeige, dass genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die Folge eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Es sei zunächst eine Cauchy-Folge. Sei vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wir wählen ein . Es sei

Bei ist unmittelbar

Bei (und nach wie vor) ist (bei )

Das heißt, dass in diesem Fall die -Bedingung nur bei erfüllt ist.

Es sei nun gleichmäßig stetig und vorgegeben. Sei eine zugehörige Aufwandsgenauigkeit. Es sei derart, dass . Dann ist für

und somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist . Somit besitzt die Geradengleichung die Form

Einsetzen eines Punkt ergibt . Somit ist

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

ein und erhalten

oder

Die Normierung davon ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein offenes Intervall, eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion und . Zeige, dass es ein derart gibt, dass eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt.

  1. ist auf konvex.
  2. ist auf konkav.
  3. ist auf konvex und auf konkav.
  4. ist auf konkav und auf konvex.


Lösung

Nach Korollar 20.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst

Dann gibt es ein derart, dass positiv auf ganz ist. Dann ist nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) wachsend und somit ist nach Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvex.

Bei

führt die entsprechende Argumentation dazu, dass in einer Umgebung konkav ist.

Es sei nun

Wenn die Nullfunktion ist, so ist affin-linear und dann ist sowohl konvex als auch konkav. Es sei also nicht die Nullfunktion. Dann gibt es eine offene -Umgebung von derart, dass dort die einzige Nullstelle ist. Dann ist auf und auf jeweils entweder positiv oder negativ. Daraus folgt jeweils die Konvexität oder die Konkavität wie zuvor.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Lösung

Die Ableitung des Sinus ist nach [[Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt|Kurs:Analysis/Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] der Kosinus. Dieser hat im Innern von keine Nullstelle, da ja als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle den Wert . Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen und ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)]].


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Lösung

Wir gehen von

und

aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Lemma 12.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.


Lösung

Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein mit für alle . Es sei eine Folge mit , die gegen („von unten“) konvergiere. Dann ist und und somit ist der Differenzenquotient

was sich dann nach Lemma 6.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist . Für eine Folge mit gilt andererseits

Daher ist auch und somit ist insgesamt .


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Berechne die Werte von an den Stellen .
  2. Skizziere den Graphen von auf dem Intervall . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
  3. Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .


Lösung

  1. Da die Exponentialfunktion die Reihendarstellung besitzt, handelt es sich bei um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
  2. Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss eine Nullstelle zwischen und besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit

    Es ist

    Die Nullstelle muss also zwischen und liegen.

Es ist

Also liegt eine Nullstelle im Intervall der Länge .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

im Innern von stets negativ ist und berechne den Flächeninhalt der durch den Graphen unterhalb von eingeschlossenen Fläche.


Lösung

Wegen

ist für der Faktor positiv und der Faktor negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ und hat den Wert an den Rändern. Eine Stammfunktion ist . Daher ist das bestimmte Integral gleich

und der eingeschlossene Flächeninhalt ist .


Aufgabe (1 Punkt)

Löse das Anfangswertproblem


Lösung

Eine Lösung ist

wie man unmittelbar durch Ableiten und Einsetzen bestätigt.