Kurs:Analysis/Teil I/54/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 6 3 1 4 1 3 3 3 6 5 4 4 8 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  2. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.

  4. Die Supremumsnorm einer Funktion

    auf einer Menge .

  5. Eine Cauchy-Familie , , von komplexen Zahlen.
  6. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion


Lösung

  1. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  2. Es sei eine Folge in . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  3. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    in konvergiert.

  4. Man nennt

    die Supremumsnorm von .

  5. Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist .

  6. Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

    die jedem Punkt die Ableitung von an der Stelle zuordnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
  2. Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge
    auf einer Teilmenge .
  3. Die Taylor-Abschätzung.


Lösung

  1. Es sei eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert und mit für alle , Dann ist ebenfalls konvergent mit
  2. Es sei eine Teilmenge und es sei
    eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Dann ist stetig.
  3. Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

    eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und . Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Lösung

a) Das Bild von ist .

b) Das Urbild von ist .

c)


Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Eine -Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch Längsrillen und Querrillen in () mundgerechte kleinere Stücke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Stücken besteht. Bei einer gegebenen vollständigen Aufteilung einer Schokolade kann man sich für jedes Stück fragen, wie oft es bei einem Teilungsschritt der Aufteilung beteiligt war. Diese Zahl nennen wir die Aufteilungstiefe von . Die Summe aller Aufteilungstiefen zu allen Stücken nennen wir die Gesamtaufteilungstiefe der Aufteilung.

  1. Es sei eine -Schokolade gegeben. Zeige, dass es eine vollständig Aufteilung gibt, bei der jedes Stück die Aufspaltungstiefe besitzt.
  2. Wir betrachten ein Eckstück einer -Schokolade. Was ist seine minimale Aufteilungstiefe und was ist seine maximale Aufteilungstiefe?
  3. Hängt für eine fixierte Schokolade die Gesamtaufteilungstiefe von der Aufteilung ab?


Lösung

  1. Man halbiert zuerst in der Mitte, die beiden -Schokoladen halbiert man so, dass jeweils -Schokoladen entstehen, diese halbiert man wieder und die entstehenden -Schokoladen halbiert man noch mal. Bei diesem Aufteilungsprozess ist jedes Stück an Teilungen beteiligt. Die Aufspaltungstiefe ist also für jedes Stück.
  2. Die minimale Aufteilungstiefe eines Eckstückes ist , diese erreicht man, indem man von der Gesamtschokolade eine Einerreihe mit der Ecke abtrennt und daraus dann die Ecke als Einzelstück abtrennt. Aufteilungstiefe ist sicher nicht möglich. Die maximale Aufteilungstiefe ist . Größer kann sie nicht sein, da es nur drei Quer- und drei Längsrillen gibt und die Anzahl der Rillen auf den Teilschokoladen bei jedem Teilungsschritt um zumindest kleiner wird. Unter der Aufteilung, bei der man stets eine die Ecke nicht enthaltende Einerrandreihe abtrennt, besitzt die Ecke die Aufteilungstiefe .
  3. Die Gesamtaufteilungstiefe hängt von der Aufteilung ab. Betrachten wir eine -Schokolade. Wenn man in der Mitte halbiert und dann noch die beiden Teilschokoladen albiert, so ist jedes Stück an zwei Teilungsvorgängen beteiligt, die Gesamtaufteilungstiefe ist also . Wenn man hingegen jeweils ein Randstück abtrennt, so ist die Summe der Aufteilungstiefen gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge Zentimeter beträgt. Gold wiegt Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. Euro im Jahr . Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?


Lösung

Es ist

das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies

Ein Gramm ist Euro wert, also besitzt jede Person

Euro in Gold.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer von .


Lösung

Es ist

und

daher ist

also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.


Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , , gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Es sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch


Aufgabe (1 Punkt)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.


Lösung

Es seien

und

mit , also und . Bei ist der Grad der Summe, bei ist bei dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen [[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] ist und somit ist der Leitterm des Produktpolynoms , dessen Grad somit gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!


Lösung Gleichmäßig stetig/Erläutere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.


Lösung

Sei . Wegen ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen und

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert. Dazu sei vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein mit

für alle . Damit haben wir für und jedes insgesamt die Abschätzung



Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

genau zwei Nullstellen besitzt.


Lösung

Bei liegt eine Nullstelle vor. Auf sind beide Summanden positiv, und für ist , so dass, da zwischen und liegt, jenseits von keine Nullstelle liegen kann. Für ist wiederum , so dass unterhalb von auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf höchstens eine Nullstelle. Es ist , so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf auch negative Werte annehmen. Wegen muss nach dem Zwischenwertsatz in mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf als auch auf eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist

    und

    Die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Wegen

ist diese Funktion auf dem offen Intervall streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ). Dabei ist . Es sei

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

die Koeffizienten .


Lösung

Mit

und

wird die Bedingung

ausgeschrieben zu

Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion. Wir setzen

Zeige, dass die Folge gegen konveriert.


Lösung

Zu sei

wobei das Minimum von auf dem Teilintervall sei. D.h., dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion bezüglich der äquidistanten Unterteilung in Teilintervalle ist. Die Folge konvergiert gegen das bestimmte Integral (vergleiche Aufgabe *****). Wir zeigen, dass gegen konvergiert, sodass ebenfalls gegen das bestimmte Integral konvergiert.

Sei vorgegeben. Nach Lemma 14.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist gleichmäßig stetig. Das bedeutet, dass es zu

ein derart gibt, dass aus

die Abschätzung

folgt. Es sei nun derart, dass

ist. Die Länge der Teilintervalle ist somit . Dies bedeutet, dass

Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Lösungen der Differentialgleichung


Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit

Die Nullstelle führt zur konstanten Lösung . Auf ist stets positiv und es liegt die Differentialgleichung auf mit den Lösungen

mit vor (die Lösungen müssen im Definitionsbereich der Differentialgleichung landen). Auf ist stets negativ und es liegt die Differentialgleichung auf mit den Lösungen

mit vor.