Kurs:Analysis/Teil II/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	3	4	10	3	4	6	5	8	4	5	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine abgeschlossene Menge ${}A\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$.
2. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   und einer stetig differenzierbaren Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

3. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
4. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow W,$

   wobei ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.

5. Der Typ einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion

   $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Satz über den Gradienten und die Niveaumenge.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Stetigkeit polynomialer Funktionen ${}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}a\in M$, ${}a\notin T$, ein Punkt, der ein Berührpunkt von ${}T$ sei. Zeige, dass der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)$

genau dann existiert, wenn ${}f$ eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\longrightarrow L$

besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ye^{x}\\\sin y\end{pmatrix}}\,$

auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ zum Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Kurvenlängensatz.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reelle ${}n\times n$- Matrix, ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor von ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda$. Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Finde eine nichttriviale Lösung für das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}'=g(t)M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem

${}y'=ty\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(0)=1\,.$

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

1. Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

   $f\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\sqrt {x}}{y}},$

   im Punkt ${}(1,2)$ in Richtung ${}(3,-1)$ mit einer direkten Limesbetrachtung unter Verwendung der Regel von Hospital.

2. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe des totalen Differentials.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ und dem variablen Eckpunkt ${}(x,y)$.

1. Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
2. Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
3. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
4. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?

Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,x-z^{2},y^{3}+xz).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}f$.
2. Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von ${}(x,y,z)$.
3. Besitzt ${}f$ im Punkt ${}(2,-1,-2)$ lokal eine Umkehrabbildung?
4. Besitzt ${}f$ im Punkt ${}(0,0,0)$ lokal eine Umkehrabbildung?
5. Zeige, dass es genau einen Punkt ${}(x,y,z)$ mit

   ${}f(x,y,z)=(0,1,0)\,$

   gibt.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y,\,z,\,w\right)\longmapsto \left(e^{xy}-xw^{2},\,\sin y-z\cos w+yz^{2}w^{3}\right).$

1. Bestimme das totale Differential von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z,\,w\right)$.
2. Zeige, dass

   ${}P=\left(0,\,{\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)\,$

   ein regulärer Punkt für ${}\varphi$ ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von ${}\varphi$ in Punkt ${}P$.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.$

1. Zeige, dass ${}G$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
2. Zeige, dass ${}G$ kein Gradientenfeld ist.