Kurs:Analysis/Teil II/15/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	3	4	10	3	4	6	5	8	4	5	65

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Stetigkeit polynomialer Funktionen ${}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}a\in M$, ${}a\notin T$, ein Punkt, der ein Berührpunkt von ${}T$ sei. Zeige, dass der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)$

genau dann existiert, wenn ${}f$ eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\longrightarrow L$

besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ye^{x}\\\sin y\end{pmatrix}}\,$

auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ zum Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Kurvenlängensatz.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine reelle ${}n\times n$- Matrix, ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor von ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda$. Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Finde eine nichttriviale Lösung für das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}'=g(t)M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem

${}y'=ty\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(0)=1\,.$

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

   $f\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\sqrt {x}}{y}},$

   im Punkt ${}(1,2)$ in Richtung ${}(3,-1)$ mit einer direkten Limesbetrachtung unter Verwendung der Regel von Hospital.

2. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe des totalen Differentials.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ und dem variablen Eckpunkt ${}(x,y)$.

1. Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
2. Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
3. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
4. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?

Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,x-z^{2},y^{3}+xz).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}f$.
2. Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von ${}(x,y,z)$.
3. Besitzt ${}f$ im Punkt ${}(2,-1,-2)$ lokal eine Umkehrabbildung?
4. Besitzt ${}f$ im Punkt ${}(0,0,0)$ lokal eine Umkehrabbildung?
5. Zeige, dass es genau einen Punkt ${}(x,y,z)$ mit

   ${}f(x,y,z)=(0,1,0)\,$

   gibt.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y,\,z,\,w\right)\longmapsto \left(e^{xy}-xw^{2},\,\sin y-z\cos w+yz^{2}w^{3}\right).$

1. Bestimme das totale Differential von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z,\,w\right)$.
2. Zeige, dass

   ${}P=\left(0,\,{\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)\,$

   ein regulärer Punkt für ${}\varphi$ ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von ${}\varphi$ in Punkt ${}P$.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.$

1. Zeige, dass ${}G$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
2. Zeige, dass ${}G$ kein Gradientenfeld ist.