Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 7
- Übungsaufgaben
Zeige, dass das Quadrieren
eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel
eine wachsende Funktion ist.
Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Tipp: Satz des Pythagoras.
Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge (also jedem ) die Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich
(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?
Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung
und
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.
Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.
Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch
Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.
Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.
Es sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch
eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
Es sei ein angeordneter Körper und eine wachsende Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ein Supremum besitzt.
Es seien und beschränkte Teilmengen von . Ferner sei und .
- Zeige, dass .
- Wie lautet die entsprechende Formel für ?
- Zeige, dass .
- Was lässt sich über sagen?
- Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?
Es sei , , und . Zeige .
Es sei ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
b)
Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von
Für welches wird diese Genauigkeit erreicht?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt
aus genau einem Punkt besteht.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige, dass jede Folge in eine monotone Teilfolge besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass vollständig ist.
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