Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 33

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Metrische Räume

Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes axiomatisiert.


Definition  

Sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. genau dann, wenn ist (Definitheit),
  2. (Symmetrie), und
  3. (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.

Man kann leicht aus den Bedingungen folgen, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert gibt den Abstand der Punkte und bezüglich an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.


Beispiel  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Fakt ***** die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im der durch

gegebene euklidische Abstand eine Metrik.


Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den und den stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen mit der durch den Betrag definierten Metrik ein metrischer Raum. Als gemeinsame Bezeichnung für und werden wir wieder verwenden.

Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik. Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.

Beispiel  

Auf dem ist

eine Metrik, die man die Summenmetrik nennt.



Beispiel  

Auf dem ist

eine Metrik, die man die Maximumsmetrik nennt.



Beispiel  

Sei ein

metrischer Raum und eine Teilmenge. Dann ist ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.


Beispiel  

Zu einer beliebigen Menge kann man durch

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.




Teilmengen in einem metrischen Raum
Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab.

Definition  

Sei ein metrischer Raum, und eine positive reelle Zahl. Es ist

die offene und

die abgeschlossene -Kugel um .

Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für ist einfach das beidseitig offene Intervall und ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall .

Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die Randpunkte dazu gehören oder nicht.



Definition  

Sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt offen (in ), wenn für jedes ein mit

existiert.


Definition  

Sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.

Achtung! Abgeschlossen ist nicht das „Gegenteil“ von offen. Die „allermeisten“ Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge.



Lemma

Sei ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die leere Menge und die Gesamtmenge sind offen.
  2. Es sei eine beliebige Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

    offen.

  3. Es sei eine endliche Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

    offen.

Beweis

Siehe Aufgabe 33.7.



Definition  

Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl mit

gibt.



Folgen in metrischen Räumen

Definition  

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Diese Definition stimmt natürlich für mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung.



Lemma  

Der sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei eine Folge in mit

Dann konvergiert die Folge genau dann, wenn alle Komponentenfolgen in konvergieren.

Beweis  

Sei die Gesamtfolge konvergent gegen . Wir behaupten, dass die -te Komponentenfolge gegen konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) und vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein mit für alle . Daher ist


Seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die -te Folge den Grenzwert besitzen möge, und sei ein vorgegeben. Wir setzen und behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zu gibt es für jede Komponentenfolge ein derart, dass für alle gilt. Dann gilt für alle

die Beziehung


Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren, was bereits in Aufgabe 8.12 gezeigt wurde.


Definition  

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.


Definition  

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

eine Teilfolge der Folge.



Satz  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge.

Dann ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die in konvergiert, bereits in konvergiert.

Beweis  

Sei zunächst abgeschlossen und eine Folge gegeben, die in gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt im offenen Komplement von und daher gibt es ein derart, dass der gesamte -Ball im Komplement von liegt. Also ist

Da die Folge aber gegen konvergiert, gibt es ein derart, dass alle Folgenglieder , zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Sei nun nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in konstruieren, die in konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu gehört. Da nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt derart, dass in jedem -Ball von auch Punkte außerhalb von , also in liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl der Durchschnitt

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in . Die Folge konvergiert gegen , da man sich hierzu auf

beschränken kann und alle Folgenglieder , , in liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ist, konvergiert die Folge in nicht.




Korollar  

Sei eine Teilmenge der reellen Zahlen. Es sei eine in abgeschlossene Teilmenge.

Wenn das Supremum in existiert, so ist .

Beweis  

Es sei . Zu jedem gibt es Elemente , und mit . Andernfalls wäre nämlich eine kleinere obere Schranke von . Die Folge konvergiert also gegen und aufgrund von Satz 33.16 ist .


Wenn man z.B. das offene Intervall in nimmt und betrachtet, so ist abgeschlossen in , das Supremum dieser Menge gehört aber nicht dazu. Ein wichtiger Spezialfall ist das folgende Korollar.



Korollar  

Es sei eine nicht leere, nach oben beschränkte, abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen.

Dann gehört das Supremum zu .

Beweis  

Dies folgt aus Korollar 33.17 mit und aus Satz 7.5.



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)