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Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 62

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Aufwärmaufgaben

Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit



Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.



Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.



Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.



Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.



Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ein Mengen-Präring ist.



Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.



Es sei ein Messraum und und seien Maße darauf.

a) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?



Es sei ein Maßraum und . Zeige, dass durch

ein Maß auf definiert ist.[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit .



Es sei ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf explosiv, wenn es lediglich die Werte und annimmt.

a) Zeige, dass (für ) durch

ein Maß definiert ist.

b) Es sei ein Maß auf . Zeige, dass durch

ebenfalls ein Maß definiert ist.



Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.



Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?



Der Messraum sei mit dem Maß versehen, bei der die Zahl den Wert erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen den Wert .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Messraum und sei

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass

messbar ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.



Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.



Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen wachsenden Funktionen

mit , mit und überabzählbar ist.




Fußnoten
  1. Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.


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