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Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 70

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Aufwärmaufgaben

Es sei ein Messraum mit einer Ausschöpfung und sei

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen mit der Grenzfunktion

Zeige, dass eine Ausschöpfung von ist.



Wir betrachten die Funktionenfolge

mit (). Es sei die Grenzfunktion. Zeige die Beziehung



Es seien und zwei endliche Maßräume und es seien

und

integrierbare Funktionen. Zeige



Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?



Es sei eine Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn



Es sei eine beschränkte reelle Folge,

eine stetige Abbildung und die Bildfolge. Es sei die Menge der Häufungspunkte von und die Menge der Häufungspunkte von .

a) Zeige .

b) Zeige

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.



Es sei eine Folge in und sei

a) Zeige, dass die Folge wachsend ist.

b) Zeige, dass die Folge gegen punktweise konvergiert.



Es sei ein Messraum und sei

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktionen

und

messbar sind.



Es sei ein - endlicher Maßraum und sei

() eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integrierbaren Funktion

für die das Integral nicht das Supremum über alle Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen ist.



Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Berechne für das Supremum der Integrale zu den folgenden einfachen Funktionen.

a) Die Funktionen , die auf den Teilintervallen (mit ) konstant sind.

b) Die Funktionen , die nur die Werte annehmen.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionenfolge

die zugehörigen Integrale, den Grenzwert der Integrale, die Grenzfunktion und das Integral der Grenzfunktion.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der Folge . Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?



Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Funktionenfolge auf .



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante nicht gilt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein (eventuell unbeschränktes) Intervall und es sei

eine nichtnegative stetige Funktion. Zeige, dass das uneigentliche Integral gleich dem Lebesgue-Integral (also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen) ist.



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