Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 79/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 79.1 ändern

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe Aufgabe 79.2 ändern

Es seien ${}M_{1}\subseteq N_{1}$ und ${}M_{2}\subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}N_{1}\times N_{2}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Karten auf dem Torus ${}S^{1}\times S^{1}$, die von den stereographischen Projektionen herrühren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei wegzusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ wieder wegzusammenhängend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),$

die Diagonalabbildung in das Produkt ${}M\times M$. Zeige, dass die Diagonale ${}\varphi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ als Rotationsmenge im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe Aufgabe 79.8 ändern

Es sei ${}R>0$ und betrachte die Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über ${}s\in \mathbb {R}$. Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von ${}{\sqrt {s}}<R$ zu ${}{\sqrt {s}}>R$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},$

die zu einem Winkelpaar ${}(\alpha ,\beta )$ die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre ${}S^{2}$ und der Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ${}S^{1}\times S^{1}\setminus \triangle$, also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Kreislinie ${}S^{1}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}S^{1}$, also ein neutrales Element ${}P\in S^{1}$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$+\colon M\times M\longrightarrow M$

und einer Abbildung

$\cdot \colon K\times M\longrightarrow M.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow M$

eine surjektive Abbildung mit

$\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (sx)=s\varphi (x)$

für alle ${}x,y\in V$ und ${}s\in K$. Zeige, dass ${}M$ ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige die Gleichheit ${}V=\bigwedge ^{1}V$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}m$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}n<m$. Zeige ${}\bigwedge ^{n}V=0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}0<r<R$ und sei

$T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ ein Torus und seien ${}P,Q\in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung ${}P,Q\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Homöomorphie mit ${}V={]0,1[}\times {]0,1[}$ ergibt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt

$4{\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}$

im ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ als Linearkombination der Dachprodukte ${}e_{1}\wedge e_{2}$, ${}e_{1}\wedge e_{3}$ und ${}e_{2}\wedge e_{3}$ aus.