Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 31/kontrolle

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Übungsaufgaben


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine wachsende Funktion und . Zeige, dass die Folge , , genau dann gegen konvergiert, wenn

gilt, wenn also die Funktion für den Grenzwert besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und seien Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert für , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert für , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert für , und zwar ist


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

nicht vom gewählten Startpunkt abhängt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein beschränktes offenes Intervall und

eine stetige Funktion, die sich auf stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

existiert und mit dem bestimmten Integral

übereinstimmt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.16).


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das uneigentliche Integral


Aufgabe Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert und berechne es im Falle der Existenz.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert und berechne es im Falle der Existenz.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Sei

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

existiert. Zeige, dass

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

derart, dass das uneigentliche Integral existiert.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein beschränktes Intervall und es sei

eine stetige Funktion. Es sei eine fallende Folge in mit dem Grenzwert und eine wachsende Folge in mit dem Grenzwert . Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass die Folge

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.




Aufgaben zum Hochladen[1]

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.




Fußnoten
  1. Bei einer Aufgabe zum Hochladen geht es darum, ein Bild (Animation etc.) mit einem Programm zu erstellen, über Commons hochzuladen (genau kategorisieren) und es in den Kurs einzubinden (siehe Materialseite des Kurses). Die Arbeit muss in einem auf Commons erlaubten Format erstellt und unter die CC-by-sa 3.0-Lizenz gestellt werden. Unbedingt das Urheberrecht beachten! Es gibt keinen genauen Abgabetermin, Nachbesserungen sind möglich und erwünscht. Bewertung letztlich durch den Dozenten. Die Gutschrift auf das Punktekonto erfolgt am Ende des Semesters vor der Klausur.


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