Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 54/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 54.1 ändern

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum über einem Körper und es seien Linearformen auf . Zeige, dass die Beziehung

genau dann gilt, wenn zu dem von den erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

unter der Nebenbedingung


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

Die Stimmungsfunktion wird durch

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man beweise die Formel aus Beispiel 54.6, indem man den durch die Linearform gegebenen affinen Unterraum linear parametrisiert und das Optimierungsproblem für auf dem zugehörigen betrachtet.


Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel


Aufgabe Aufgabe 54.7 ändern

Zeige, dass durch

eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide

gegeben ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Standardastroide


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Standardastroide

unter Verwendung der durch gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe 54.7) von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

auf


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

auf


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

auf den Graphen

im Punkt ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen angefertigt werden, deren Inhalt gleich

sein soll.

a) Wie müssen gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf dem Ellipsoid


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten im Einheitswürfel eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten ()

  1. Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
  2. Unter welcher Bedingung an handelt es sich um ein Quadrat?
  3. Für welche erhält man ein Quadrat mit maximalem Flächeninhalt?


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern und disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)