Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 84/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf ${}V$ ?

Aufgabe Aufgabe 84.2 ändern

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Abbildung

{\mathcal {V}}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,F\longmapsto \omega _{F},

mit

{}{\left(\omega _{F}(P)\right)}(v):=\left\langle F(P),v\right\rangle _{P}\,,

linear ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 84.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und ${}1$ - Differentialformen in dieser Situation?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe Bemerkung 84.4.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform ${}\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert ${}1$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}n$ -dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und ${}\lambda$ ein translationsinvariantes Maß auf ${}V$ . Zeige, dass die Zuordnung

V\times \cdots \times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pm \lambda (P(v_{1},\ldots ,v_{n})),

wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen

\alpha \colon U\longrightarrow V

im Allgemeinen keine Isometrie

T_{P}(\alpha )\colon T_{P}U\longrightarrow T_{\alpha (P)}V

induzieren (wenn ${}T_{P}U$ mit ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ und ${}T_{\alpha (P)}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Graph ${}M$ der Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des

{}\mathbb {R} ^{3}

, also

{}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,

mit der vom ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu ${}\psi$ sowie die Bildvektoren ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ .

b) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(u,0)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(0,v)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Aufgabe Aufgabe 84.9 ändern

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}

(mit $m=n-1\geq 0$ ) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R}$ regulär sei. Wir fassen ${}M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform ${}\tau$ aus Korollar 83.6 und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ die Beziehung

{}\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi (P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,

besteht.

Aufgabe Aufgabe 84.10 ändern

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }

(mit $m=n-\ell \geq 0$ ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei. Wir fassen ${}M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten

\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)

für jeden Punkt von ${}P\in M$ senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform ${}\tau$ aus Korollar 83.6 und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ die Beziehung

{}\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P)}\Vert \cdots \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,

besteht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die kanonische Flächenform auf der Einheitssphäre ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ gleich

xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy

ist, wobei ${}x,y,z$ die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien.

Aufgaben zum Abgeben

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ definiert man zu einem Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ die Norm durch ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle _{P}}}$ .

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung

TM\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,

stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ mit der durch die Hesse-Form zur Funktion

f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4},

gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe für jeden Punkt ${}P=(x,y,z)$ der Einheitssphäre ${}K$ eine Orthonormalbasis in ${}T_{P}K\subset \mathbb {R} ^{3}$ an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).