Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 17/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 17.1 ändern

Es sei ${}b>0$ eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}b^{x}=\exp \left(x\cdot \ln b\right)\,.$

Aufgabe Aufgabe 17.2 ändern

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$

zur Basis ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich $z\in \mathbb {R}$).

1. ${}a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$.
2. ${}a^{-z}={\frac {1}{a^{z}}}$.
3. ${}(ab)^{z}=a^{z}b^{z}$.
4. ${}(a^{z})^{w}=a^{zw}$.

Aufgabe Aufgabe 17.3 ändern

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Zeige die Gleichheit

   ${}\vert {\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert =\vert {\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert \,.$

2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe Aufgabe 17.7 ändern

Es seien ${}b,d>0$ und ${}d$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow 0}\,b^{d}=0\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert ${}z$ und ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert ${}a$. Zeige, dass die durch ${}w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge gegen ${}a^{z}$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert ${}z$ und ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert ${}0$. Zeige durch ein Beispiel, dass die durch ${}w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge nicht konvergieren muss.

Aufgabe Aufgabe 17.10 ändern

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie ${}a_{i}$, ${}i\in J$, summierbar ist.

Aufgabe * Aufgabe 17.11 ändern

Es sei ${}a_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile ${}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, und die Familie der Imaginärteile ${}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall

${}\sum _{j\in J}a_{j}=(\sum _{j\in J}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)})+{\mathrm {i} }(\sum _{j\in J}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)})\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}a_{i}$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Tipp: Man zeige dieses Resultat zuerst für reelle Familien und ziehe dann Aufgabe 17.11 heran.

Für Familien, anders als wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.

Aufgabe Aufgabe 17.14 ändern

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

$\vert {a_{E}}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}}\vert ,E\subseteq I,\,E{\text{ endlich}},$

nach oben beschränkt ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form ${}n^{k}$ mit ${}n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

summierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Berechne zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$s_{k}=\sum _{\ell \in \mathbb {N} }z^{k}z^{\ell }$

zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und berechne ${}\sum _{k\in \mathbb {N} }s_{k}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zu ${}j\in \mathbb {Z}$ sei

$I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}.$

Berechne zu jedem ${}j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }$

und berechne ${}\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Familie

${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} .$

1. Zeige, dass diese Familie nicht summierbar ist.
2. Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie

   ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \alpha ,$

   summierbar?

3. Es sei ${}\beta \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie

   ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \beta n,$

   summierbar?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{3}$ der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt ${}{\frac {1}{2}}$.

(Für ${}d_{1}$ ist es hilfreich, eine Formel für ${}\sum _{n=k}^{\infty }z^{n}$ aufzustellen. Für ${}d_{2},d_{3}$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {Q} \rightarrow {\mathbb {K} }$ eine stetige Funktion, aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie ${}f(q)$, ${}q\in \mathbb {Q}$, nicht summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine ${}9$ vorkommt. Zeige, dass

$\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$

summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{a^{2}+b^{2}}},\,a,b\in \mathbb {N} _{+},$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 17.26 ändern

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

$J={\left\{i\in I\mid a_{i}\neq 0\right\}}$

abzählbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{6}$ der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt ${}1$.