Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 32

Die Fakultätsfunktion

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$ ist ${}n!=\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$ . Dabei gilt die rekursive Beziehung ${}n!=n((n-1)!)$ . Gibt es eine Möglichkeit, diese für die natürlichen Zahlen definierte Funktion auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ durch eine differenzierbare Funktion ${}f$ fortzusetzen? Ist es sogar möglich, dass dabei die Beziehung ${}f(x)=xf(x-1)$ für jedes ${}x$ gilt? Wir werden mit Hilfe von uneigentlichen Integralen zeigen, dass dies in der Tat möglich ist.

Beispiel

Es sei ${}x>-1$ . Wir betrachten die Funktion

\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{x}e^{-t}.

Wir behaupten, dass das uneigentliche Integral

\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt

existiert. Für den rechten Rand (also ${}\infty$ ) betrachten wir eine natürliche Zahl ${}n\geq x$ . Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion (siehe Aufgabe 15.19), gibt es ein ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass ${}t^{n}e^{-{\frac {t}{2}}}\leq 1$ für alle ${}t\geq a$ gilt. Daher ist

{}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&\leq \int _{a}^{b}t^{n}e^{-t}\,dt\\&=\int _{a}^{b}t^{n}e^{-{\frac {t}{2}}}e^{-{\frac {t}{2}}}\,dt\\&\leq \int _{a}^{b}e^{-{\frac {t}{2}}}\,dt\\&=2{\left(e^{-{\frac {a}{2}}}-e^{-{\frac {b}{2}}}\right)}\\&\leq 2e^{-{\frac {a}{2}}}.\end{aligned}}

Für ${}b\rightarrow \infty$ wächst das linke Integral und ist durch ${}2e^{-{\frac {a}{2}}}$ beschränkt, sodass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand (das nur bei ${}-1<x\leq 0$ problematisch ist) müssen wir wegen ${}e^{-t}\leq 1$ nach Lemma 31.4 nur ${}\int _{0}^{1}t^{x}\,dt$ betrachten. Eine Stammfunktion davon ist ${}{\frac {1}{x+1}}t^{x+1}$ , deren Exponent positiv ist, sodass der Limes für ${}t\rightarrow 0$ existiert.

Das uneigentliche Integral

\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt

existiert also für ${}x\in \mathbb {R} ,\ x>-1$ . Dies ist der Ausgangspunkt für die Definition der Fakultätsfunktion.

Definition

Für ${}x\in \mathbb {R}$ , ${}x>-1$ , heißt die Funktion

x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt

die Fakultätsfunktion.

Die für ${}x>0$ durch

{}\Gamma (x):=\operatorname {Fak} \,(x-1)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\,

definierte Funktion heißt Gammafunktion, mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird, deutlicher.

Satz

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)$ für ${}x>0$ .

Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(0)=1$ .

Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(n)=n!$ für natürliche Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$ .

Es ist ${}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {\pi }}$ .

Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen ${}b\geq a>0$ bei fixiertem ${}x>0$ )

{}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}

Für ${}b\rightarrow \infty$ geht ${}b^{x}e^{-b}\rightarrow 0$ und für ${}a\rightarrow 0$ geht ${}a^{x}e^{-a}\rightarrow 0$ (da ${}x$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\operatorname {Fak} \,(x-1)$ .
(2). Es ist

{}\operatorname {Fak} \,(0)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.

(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

{}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.

Dies ergibt sich mit der Substitution ${}t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.

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Die Fakultätsfunktion ist auch stetig und differenzierbar, was wir aber nicht beweisen werden.

Euklidische Vektorräume

Wir beginnen nun mit der höherdimensionalen Analysis. Dazu müssen wir zunächst die topologischen Grundbegriffe (Abstand, Folgen, Stetigkeit, Grenzwerte) auf den ${}\mathbb {R} ^{n}$ erweitern. Wir beginnen mit Vektorräumen mit einem Skalarprodukt.

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorräume vorliegen.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

mit folgenden Eigenschaften:

Es ist
${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ , ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
Es ist
${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ .
Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Beispielsweise ist im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt

{}\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\\6\end{pmatrix}}\right\rangle =3\cdot (-1)-5\cdot 4+2\cdot 6=-11\,.

Definition

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ${}V$ ist jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf ${}U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.

Im komplexen Fall sieht die Definition etwas anders aus. Es liegt keine Bilinearität und keine Symmetrie im strengen Sinne vor, sondern nur bis auf komplexe Konjugation. Diese Variante ist nötig, um die positive Definitheit zu sichern, auf der der Abstandsbegriff beruht.

Definition

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

mit folgenden Eigenschaften:

Es ist
${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$ , ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$ , ${}x,y_{1},y_{2}\in V$ .
Es ist
${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

für alle ${}v,w\in V$ .
Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Definition

Das auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ durch

{}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Wir werden die beiden Fälle parallel behandeln. Wenn man zu einem komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ den zugrunde liegenden reellen Vektorraum betrachten, so ist der Realteil des komplexen Skalarprodukts ein reelles Skalarprodukt, siehe Aufgabe 32.7. Daher kann man sich bei Abstandsfragen auf den reellen Fall konzentrieren.

Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit ${}a<b$ und sei

{}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,,

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

{}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt\,

und erhalten damit ein Skalarprodukt auf ${}V$ . Die Additivität folgt beispielsweise aus

{}\left\langle f_{1}+f_{2},g\right\rangle =\int _{a}^{b}(f_{1}(t)+f_{2}(t)){\overline {g(t)}}dt=\int _{a}^{b}f_{1}(t){\overline {g(t)}}dt+\int _{a}^{b}f_{2}(t){\overline {g(t)}}dt=\left\langle f_{1},g\right\rangle +\left\langle f_{2},g\right\rangle \,.

Die positive Definitheit folgt so: Wenn ${}f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei ${}s\in [a,b]$ ein Punkt mit ${}f(s)\neq 0$ . Dann ist ${}\vert {f(s)}\vert >0$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ gibt es dann auch eine Umgebung ${}[s-\epsilon ,s+\epsilon ]\cap [a,b]$ der Länge ${}\geq \epsilon$ , auf der überall

{}\vert {f(t)}\vert \geq c>0\,

für ein gewisses ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ ist (man kann ${}c={\frac {\vert {f(s)}\vert }{2}}$ nehmen). Somit ist

{}\left\langle f,f\right\rangle =\int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \int _{\max {\left(a,s-\epsilon \right)}}^{\min {\left(b,s+\epsilon \right)}}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \epsilon c^{2}>0\,

positiv.

Norm und Abstand

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

{}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,

die Norm von ${}v$ .

Satz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$ .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$ .

Beweis

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$ . Damit hat man die Abschätzungen

{}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

\Box

Bemerkung

Für von ${}0$ verschiedene Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

{}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ${}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$ ) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

{}\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}\pi$ . Die obige Gleichung kann man auch als

{}\left\langle v,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \cdot \cos \left(\angle (v,w)\right)\,

schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ .

Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt
${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

Für ${}v,w\in V$ gilt
${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus

{}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\left\langle v,v\right\rangle =\vert {\lambda }\vert ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

{}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+\left\langle v,w\right\rangle +{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&\leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert .\end{aligned}}

Aufgrund von Satz 32.11 ist dies ${}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$ . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.

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Die folgende Aussage heißt Polarisationsformel.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$ .

Dann gilt bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

und bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

$\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 32.9.

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Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Zu Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

{}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$ .

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$ ).