Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 12

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Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Zeige und folgere, dass eine -Unteralgebra von ist.


Aufgabe

Es sei ein graduierter kommutativer Ring und es sei eine Stufe, die eine Einheit enthalte. Zeige, dass als -Modul isomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ebenfalls -graduiert ist.


Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale und in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl derart, dass das Produkt ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad besitzt, die beiden Ideale aber nicht.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmengen zu homogenen Idealen in einem -graduierten Ring in der Tat eine Topologie auf dem projektiven Spektrum festlegen.


Aufgabe

Zeige, dass die offenen Teilmengen zu homogenen Elementen in einem -graduierten Ring eine Basis der Topologie auf dem projektiven Spektrum bilden.


Aufgabe

Bestimme das projektive Spektrum zum Achsenkreuz (in der Standardgraduierung).


Aufgabe

Skizziere das projektive Spektrum zu den Achsenebenen (in der Standardgraduierung).


Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte und in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?


Aufgabe

Zeige, dass der globale Schnittring des projektiven Raumes gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 10.7 über Verklebungen konstruierte projektive Gerade mit der projektiven Geraden im Sinne von Beispiel 12.10, also , übereinstimmt.


Aufgabe

Sei , wobei eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.


Aufgabe

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.


Aufgabe

Sei der projektive Raum der Dimension über dem Körper und seien

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von nach .


Aufgabe

Seien homogene Polynome in Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

definieren.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring, der in der ersten Stufe eine homogene Einheit besitze, und es sei ein homogenes Ideal. Zeige für die Gleichheit von -Moduln


Aufgabe

Es sei ein standard-graduierter Ring und ein homogenes Ideal. Es sei ein homogenes Element vom Grad . Zeige für die folgende Gleichheit von -Moduln



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