Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 13

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Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und . Zeige


Aufgabe

Es sei ein -Modul über einem kommutativen Ring und . Zeige

wobei rechts die Modulgarbe zum -Modul steht.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Es sei ein Primideal mit . Zeige, dass es ein gibt mit .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein -Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten -Moduln. Es sei ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus surjektiv ist. Zeige, dass es ein derart gibt, dass surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher kommutativer Ring und sei ein -Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten -Moduln. Es sei ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus injektiv ist. Zeige, dass es ein derart gibt, dass injektiv ist.


Aufgabe

Zeige anhand von und , dass die Aussagen aus Aufgabe 13.3, Aufgabe 13.4 und Aufgabe 13.5 ohne die Vorausssetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.


Aufgabe

Sei ein Körper,

und .

  1. Zeige, dass ein Primideal ist.
  2. Zeige .
  3. Zeige für .
  4. Zeige, dass

    lokalisiert in injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element injektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass eine konstante Garbe auf dem Spektrum ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln. Zeige


Aufgabe

Es sei die punktierte affine Ebene. Man gebe ein Beispiel für globale Schnitte derart, dass nicht das Einheitsideal ist, dass aber der zugehörige -Modulhomomorphismus , , surjektiv ist.


Aufgabe

Wir betrachten zu die kurze exakte Sequenz

wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die auf abgebildet wird. Dies führt nach Lemma 13.9 zu einer exakten Garbensequenz

Es sei

. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf ist

    wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz

Interpretiere die entsprechende kurze exakte Garbensequenz

auf dem Spektrum von . Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte (Auswertungen bzw. Halme) zu und die Homomorphismen zu Isomorphismen?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein quasikohärenter Modul auf . Zeige für einen -Modul .


Aufgabe

Es seien und quasikohärente Moduln auf einem Schema . Zeige, dass dann auch die direkte Summe wieder quasikohärent ist.


Aufgabe

Es seien und kohärente Moduln auf einem Schema . Zeige, dass dann auch die direkte Summe wieder kohärent ist.


Aufgabe

Es seien und quasikohärente Moduln auf einem Schema und sei ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ebenfalls quasikohärent ist.


Aufgabe

Es seien und quasikohärente Moduln auf einem Schema und sei ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kokern ebenfalls quasikohärent ist.


Aufgabe

Es sei ein noethersches Schema und sei eine globale Funktion mit Invertierbarkeitsort . Es sei ein quasikohärenter -Modul auf . Zeige


Aufgabe

Es sei ein noethersches Schema und sei eine offene Teilmenge. Es sei ein quasikohärenter -Modul auf . Zeige, dass der Vorschub ein quasikohärenter Modul auf ist.

Betrachte zuerst die Situation, wo affin ist.

Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe auf dem projektiven Raum über einem Körper zusammen mit dem globalen Schnitt und der Invertierbarkeitsmenge . Es sei eine auf definierte Funktion. Zeige direkt, dass es ein derart gibt, dass

von einem globalen Element aus herrührt.


Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe auf der projektiven Geraden über einem Körper zusammen mit dem globalen Schnitt und der Invertierbarkeitsmenge . Finde für die folgenden Funktionen aus ein geeignetes derart, dass von einem (von welchen?) Element aus herrührt.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Spezialisiere Satz 13.13 für den Fall, wo die Strukturgarbe von ist.



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