Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 13

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Es sei ein -graduierter Ring und ein Primideal in . Zeige, dass die Homogenisierung ebenfalls ein Primideal ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine standard-graduierte -Algebra. Zeige, dass das Diagramm

aus Schemamorphismen kommutiert, wobei die vertikalen Abbildungen links und rechts Kegelabbildungen sind und die horizontalen Abbildungen Isomorphien und die natürlichen abgeschlossenen Einbettungen sind.


Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen der Kegelabbildung

und der Hopf-Faserung .


Aufgabe

Es sei ein -Modul auf einem beringten Raum . Zeige, dass zu jedem Punkt der Halm ein -Modul ist.


Aufgabe

Es seien und -Moduln auf einem beringten Raum . Zeige, dass dann auch die direkte Summe ein -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein -Modul auf einem beringten Raum und ein -Untermodul. Zeige, dass die Quotientengarbe in natürlicher Weise ein -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum. Zeige, dass genau dann eine Einheit ist, wenn der zugehörige -Modulhomomorphismus ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum. Es seien globale Schnitte, die in das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass der zugehörige -Modulhomomorphismus , , surjektiv ist.

In der vorstehenden Aussage gilt nicht die Umkehrung, siehe Aufgabe 14.10.

Aufgabe

Es sei ein beringter Raum. Es seien globale Schnitte mit . Zeige, dass die Determinante der Matrix genau dann eine Einheit in ist, wenn der zugehörige -Modulhomomorphismus , , ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Es sei

ein Garbenmorphismus und es sei eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Abbildungen

    für alle mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

  2. Wenn die

    für alle mit den -Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

  3. Wenn die

    -Modulhomomorphismen für alle sind, so gilt dies auch für .


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf .

Zeige, dass es einen natürlichen -Modulhomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Zeige, dass der Halm der Prägarbe

in einem Punkt gleich

ist.


Aufgabe

Es sei eine Modulgarbe auf einem beringten Raum und sei die duale Garbe zu . Zeige, dass es einen natürlichen -Homomorphismus

gibt.


Aufgabe

Es sei ein lokal beringter Raum und eine invertierbare Garbe auf . Es sei eine offene Teilmenge derart, dass die Einschränkung trivial ist, und es sei ein Isomorphismus. Es sei ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort . Zeige, dass , wobei rechts der Invertierbarkeitsort zu steht.


Aufgabe

Es sei eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum . Zeige, dass die duale Garbe ebenfalls invertierbar ist.


Aufgabe

Es sei und invertierbare Garben auf einem beringten Raum . Zeige, dass die Tensorierung ebenfalls invertierbar ist.


Aufgabe

Es sei und invertierbare Garben auf einem lokal beringten Raum . Es seien , und . Zeige, dass die Invertierbarkeitsorte

erfüllen.


Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum in natürlicher Weise isomorph zu ihrem Bidual ist.


Aufgabe

Es sei eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum und sei die duale Garbe zu . Zeige, dass es einen natürlichen -Isomorphismus

gibt.


Aufgabe

Wir betrachten den projektiven Raum über einem Körper und die invertierbare Garbe zu . Es sei . Zeige für die Invertierbarkeitsmenge die Gleichheit .


Aufgabe

Wir betrachten den projektiven Raum über einem Körper und die invertierbaren Garben . Zeige .


Aufgabe

Es sei ein homogenes Polynom vom Grad . Zeige, dass dies eine kurze exakte Garbensequenz

auf dem projektiven Raum festlegt (hierbei wird die Strukturgarbe auf der projektiven Hyperfläche als eine Garbe auf dem projektiven Raum aufgefasst).



<< | Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)