Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 21

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Aufgabe

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen -Modulisomorphismus

gibt.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten -Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Aufgabe

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 21.7 formuliert sind.


Aufgabe

Sei eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl bezeichne den Exponenten, mit dem die Primzahl in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt .

c) Finde eine Fortsetzung der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei mit der Multiplikation und mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe *

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es sei ein Punkt.

  1. Zeige, dass der lokale Ring von im Punkt ein diskreter Bewertungsring ist.
  2. Folgere, dass der Koordinatenring normal ist (man kann algebraisch abgeschlossen annehmen).
  3. Zeige, dass nicht faktoriell ist.
  4. Bestimme die Ordnung von und von im lokalen Ring zum Punkt .


Aufgabe

Sei ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ist ein formaler Ausdruck der Form

Es kann hier also unendlich viele von verschiedene Koeffizienten geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Ein Modul, der außer keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.


Aufgabe

Zeige, dass ein torsionsfreier endlich erzeugter Modul über einem diskreten Bewertungsring frei ist.



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