Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 9

Affine Schemata

Es sei

${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$

das mit der Zariski-Topologie versehene Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$. Wenn ${}R$ ein Körper ist, so besteht das Spektrum allein aus einem einzigen Punkt, nämlich dem Nullideal, das zugleich das maximale Ideal ist, und beinhaltet so gesehen sehr wenig Information. Der kontravariante Funktor

${\text{Kom Ringe}}\longrightarrow {\text{Top}},\,R\longmapsto \operatorname {Spek} {\left(R\right)},$

verliert also Information. Wir wollen dass Spektrum mit einer zusätztlichen Struktur anreichern, damit man daraus den Ring rekonstruieren kann. Dazu definieren wir eine (Struktur-)Garbe auf dem Spektrum. Zu einem Ring ist dann das Spektrum zusammen mit dieser Strukturgarbe eine sinnvolle Geometrisierung, nämlich ein beringter Raum.

Beispiel

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$. Darauf definiert man eine Prägarbe von kommutativen Ringen, indem man zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Festlegung

${}{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\,$

macht, mit den natürlichen Ringhomomorphismen ${}R_{f}\rightarrow R_{g}$ zu ${}U\subseteq D(g)\subseteq D(f)$. Dies ist mit den natürlichen Ringhomomorphismen eine Prägarbe. Dabei ist ${}{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=R_{f}$ und insbesondere ${}{\mathcal {P}}{\left(X\right)}=R$, da das gerichtete System das finale Objekt ${}D(f)$ enthält. Der Halm dieser Prägarbe in einem Punkt ${}{\mathfrak {p}}\in X$ ist

${}\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in U}\,{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}\,{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=\operatorname {colim} _{f\notin {\mathfrak {p}}}\,R_{f}=R_{\mathfrak {p}}\,.$

Dies ist keine Garbe. Ihre Vergarbung ist die Strukturgarbe auf dem Spektrum.

Definition

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$. Unter der Strukturgarbe auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ den kommutativen Ring

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(b)\right\}}\,$

und jeder Inklusion ${}U\subseteq U'$ die natürliche Projektion zuordnet.

Lemma

Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ auf dem Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$

ist eine Garbe von kommutativen Ringen.

Beweis

Die angegebene Definition ist einfach die Vergarbung der in Beispiel 9.1 beschriebenen Prägarbe, wobei wir lediglich die Verträglichkeitsbedingung statt mit beliebigen offenen Umgebungen mit den Basisumgebungen formuliert haben.

$\Box$

Definition

Das Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ zusammen mit der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ nennt man das affine Schema zu ${}R$.

Ein Element ${}q\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man eine auf ${}U$ definierte algebraische (oder rationale oder reguläre) Funktion.

Bemerkung  

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ lässt sich die Strukturgarbe besonders einfach beschreiben, zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist einfach

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\,,$

wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper ${}Q(R)$ genommen wird, in dem sämtliche Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ Unterringe sind. Die Funktionen auf ${}U$ sind also einfach diejenigen rationalen Elemente aus ${}Q(R)$, die in allen Punkten aus ${}U$ definiert sind. Dabei gilt

${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}R_{\mathfrak {p}}=R\,$

nach Lemma 16.4 (Kommutative Algebra). Entsprechend gilt ${}\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}R_{\mathfrak {p}}=R_{f}$. Wenn eine offene Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ vorliegt, so ist

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{i\in I}{\left(\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in D(f_{i})}R_{\mathfrak {p}}\right)}=\bigcap _{i\in I}R_{f_{i}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten ${}R=K[X,Y]/(XY)$ über einem Körper ${}K$. Auf der offenen Menge

${}U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\setminus \{(X,Y)\}\,$

ist diejenige Funktion, die auf der (punktierten) Geraden ${}V(X)\cap U=D(Y)$ den Wert ${}0$ und auf der (punktierten) Geraden ${}V(Y)\cap U$ den Wert ${}1$ besitzt, eine algebraische Funktion. Durch diese Festlegung ist für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in U$ ein ${}s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}$ gegeben. Bei

${}{\mathfrak {p}}\in V(X)\cap U=D(Y)\,$

ist ${}0={\frac {0}{Y}}$ eine Beschreibung als Bruch und bei

${}{\mathfrak {p}}\in V(Y)\cap U=D(X)\,$

ist ${}1={\frac {X}{X}}$ eine Beschreibung als Bruch.

Bemerkung  

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und einer rationalen Funktion ${}q\in Q(R)$ gibt es eine größte offene Menge ${}U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, auf der ${}q$ definiert ist. Es ist nämlich ${}U=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ mit dem sogenannten Nennerideal

${}{\mathfrak {a}}={\left\{r\in R\mid rq\in R\right\}}\,.$

Wenn ${}q\in R_{\mathfrak {p}}$ gilt, so ist ${}q={\frac {s}{r}}$ mit ${}r\notin {\mathfrak {p}}$, ${}r$ gehört zum Nennerideal und somit ist ${}{\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$. Dieses Argument rückwärts gelesen ergibt die andere Implikation. Die Menge ${}D(f)$ ist der maximale Definitionsort für ${}1/f$.

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist für offene Mengen ${}U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Zuordnung

$U\longrightarrow \operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}$

gleich der Strukturgarbe auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Beweis

Die angegebene Zuordnung ist eine Prägarbe von kommutativen Ringen, deren Vergarbung gleich der Strukturgarbe ist. Wir müssen also zeigen, dass diese Prägarbe im faktoriellen Fall bereits eine Garbe ist. Es sei

${}q\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\subseteq Q(R)\,$

von ${}0$ verschieden. Wegen der Faktorialität gibt es eine gekürzte Darstellung

${}q={\frac {a}{f}}\,.$

Wir behaupten ${}U\subseteq D(f)$, sei also ${}{\mathfrak {p}}\in U$. Da ${}q$ auf ${}U$ definiert ist, gibt es nach Bemerkung 8.5 eine Darstellung ${}q={\frac {b}{g}}={\frac {a}{f}}$ mit ${}g\notin {\mathfrak {p}}$. Dies bedeutet ${}fb=ag$ in ${}R$. Jeder Primfaktor von ${}f$ teilt ${}ag$ aber nicht ${}a$, also muss er ${}g$ teilen. Daher umfasst das Radikal von ${}f$ das Radikal von ${}g$ und somit ist ${}{\mathfrak {p}}\in D(g)\subseteq D(f)$.

$\Box$

Diese Aussage gilt insbesondere für den Polynomring bzw. den affinen Raum.

Beispiel

Wir betrachten den Integritätsbereich ${}R=K[X,Y,Z,W]/(WX-ZY)$ über einem Körper ${}K$ und die offene Teilemenge ${}D(X,Y)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Nach Bemerkung 8.5 ist

${}q={\frac {Z}{X}}={\frac {W}{Y}}\,$

eine auf ${}U$ definierte algebraische Funktion, also ein Element aus ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$. Es gibt aber außer den Einheiten kein Element ${}f\in R$ mit ${}(X,Y)\subseteq (f)$, da ${}X$ und ${}Y$ irreduzibel sind. Deshalb ist ${}q$ kein Schnitt der Prägarbe aus Beispiel 9.1 über ${}U$, aber ein Schnitt ihrer Vergarbung.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}x\in X$ ein Punkt, der dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ entspreche.

Dann ist der Halm der Strukturgarbe gleich

${}{\mathcal {O}}_{x}=R_{\mathfrak {p}}\,.$

Beweis

Dies ergibt sich aus Beispiel 9.1 und Lemma 5.2  (2).

$\Box$

Korollar

Ein affines Schema

ist ein lokal beringter Raum.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 9.10 und Satz 16.3 (Kommutative Algebra).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}f\in R$.

Dann ist

${}\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=R_{f}\,.$

Insbesondere ist der globale Schnittring gleich ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=R$.

Beweis

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$. Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Lemma Anhang 1.1. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}q\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\,$

und Elemente

${}q_{i}={\frac {a_{i}}{f_{i}^{k_{i}}}}\,,$

die als Schnitte über

${}D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})\,,$

also als Elemente in ${}R_{f_{i}f_{j}}$ übereinstimmen. Nach Korollar 8.6 können wir annehmen, dass ${}I$ endlich ist. Ferner können wir die ${}k_{i}$ durch ihr Maximum ${}k$ ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler ${}a_{i}$ auch ändert). Die Verträglichkeit ${}{\frac {a_{i}}{f_{i}^{k}}}={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}$ bedeutet die Existenz von Gleichungen

${}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}=(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\,$

in ${}R$, wobei wir ${}m$ als ein Maximum gewählt haben. Nach Proposition 8.4  ((2), (4)) erzeugen die ${}f_{i}$, ${}i\in I$, das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die ${}f_{i}^{m+k}$, ${}i\in I$, d.h. es gibt ${}g_{i}\in R$ mit

${}1=\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\,.$

Wir setzen

${}a:=\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\,.$

Es ist dann

${}{\begin{aligned}af_{j}^{m+k}&={\left(\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\right)}f_{j}^{m+k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\\&=a_{j}f_{j}^{m}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\right)}\\&=a_{j}f_{j}^{m}.\end{aligned}}$

Dies bedeutet wiederum ${}a={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}=q_{j}$ in ${}R_{f_{j}}$, d.h. der Schnitt wird von einem Ringelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf ${}D(f)$. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man ${}R_{f}$ als neuen Ring ansetzt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}f\in R$.

Dann ist ${}D(f)=\operatorname {Spec} {\left(R_{f}\right)}$.

Beweis

Nach Proposition 8.11  (3) induziert der kanonische Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R_{f}$ eine offene Einbettung

$\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\longrightarrow D(f)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Nach Satz 9.12 ist links und rechts der Schnittring gleich ${}R_{f}$. Entsprechendes gilt für jede offene Teilmenge ${}D(g)\subseteq D(f)$, und dadurch ist die Strukturgarbe links und rechts festgelegt, sodass ein Isomorphismus von beringten Räumen vorliegt.

$\Box$

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