Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 9

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Schemata

Definition  

Ein Schema ist ein beringter Raum derart, dass es eine offene Überdeckung gibt, für die die affine Schemata sind.



Lemma  

Es sei ein Schema und ein Punkt.

Dann gibt es zu jeder offenen Umgebung eine offene affine Umgebung .

Beweis  

Es sei

eine offene affine Umgebung von . Dann ist eine offene Teilmenge von und damit von der Form mit einem Ideal . Wegen ist

für ein und ist affin nach Lemma 8.13.




Lemma  

Eine offene Teilmenge eines Schemas

besitzt eine Überdeckung mit affinen offenen Mengen und ist somit selbst ein Schema.

Beweis  

Als offene Teilmengen eines beringten Raumes ist ebenfalls ein beringter Raum. Die Existenz der affinen Überdeckung folgt unmittelbar aus Lemma 9.2.



Definition  

Eine offene Teilmenge eines affinen Schemas nennt man ein quasiaffines Schema.



Definition  

Zu einem lokalen Ring nennt man

das punktierte Spektrum von .

Als beringte Räume kann man Schemata grundsätzlich entlang offener Teilmengen im Sinne von Lemma 6.10 miteinander verkleben. Wir geben dafür zwei Beispiele.


Beispiel  

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also und mit den offenen Teilmengen und . Wir betrachten den Isomorphismus

der durch festgelegt ist und wir wollen und im Sinne von Lemma 6.10 miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde ist ein Schema, das man die in einem Punkt verdoppelte Gerade nennt. Die beiden durch bzw. gegebenen Punkte auf nennen wir bzw. . Es liegt das kommutative Diagramm (von Restriktionshomomorphismen)

vor, wobei wir die Identifizierung vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt

und die globalen Funktionen haben in und in den gleichen Wert. Mit einer ähnlichen Überlegung lässt sich zeigen, dass die Halme übereinstimmen (alles spielt sich im Funktionenkörper ab).



Beispiel  

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also und mit den offenen Teilmengen und . Wir betrachten den Isomorphismus

der durch festgelegt ist und wir wollen und im Sinne von Lemma 6.10 miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde ist ein Modell für die projektive Gerade über . Die beiden durch bzw. gegebenen Punkte auf nennen wir bzw. . Wenn bei oder (mit der metrischen Topologie) eine Folge in gegen konvergiert, so divergiert sie in bestimmt gegen unendlich.

Es liegt das kommutative Diagramm (von Restriktionshomomorphismen)

vor, wobei wir die Identifizierung vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt

da nur die konstanten Funktionen sowohl in als auch in sind (es wird der Durchschnitt im Funktionenkörper genommen). Es ist und .




Morphismen von Schemata

Definition  

Ein Schemamorphismus

zwischen Schemata und ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.

Wir wollen zuerst die zu einem Ringhomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung

zu einem Schemamorphismus machen. Dies ergibt sich als Spezialfall des folgenden Satzes.



Satz  

Es sei ein lokal beringter Raum und ein affines Schema.

Dann gibt es zu jedem Ringhomomorphismus einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume , der als globalen Homomorphismus besitzt.

Beweis  

Wegen Lemma 6.18 muss

für jeden Punkt sein, wobei den Restriktionshomomorphismus in den Halm und das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja

erfüllt, die nach Proposition 7.4  (8) eine Basis bilden und da die nach Lemma 6.16 offen sind. Zu jedem liegen die Ringhomomorphismen

vor, wobei rechts zu einer Einheit wird. Nach Satz 15.13 (Kommutative Algebra) gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus

für jede offene Menge festgelegt. Es gilt nämlich mit die Beziehung

und

Da wir rechts auf den bzw. wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.




Korollar  

Es seien und kommutative Ringe und ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Schemamorphismus , der als globalen Homomorphismus besitzt. Topologisch handelt es sich um die Spektrumsabbildung.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 9.9. Die Überlegung zu Beginn des Beweises von diesem Satz zeigt, dass es sich um die Spektrumsabbildung handelt.




Korollar  

Es sei ein lokal beringter Raum.

Dann gibt es einen kanonischen Morphismus lokal beringter Räume .

Dabei wird ein Punkt auf die Charakteristik seines Restekörpers abgebildet.

Beweis  

Der kanonische Ringhomomorphismus

legt nach Satz 9.9 einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume

fest.



Korollar  

Es sei ein lokal beringter Raum.

Dann definiert jede globale Funktion einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume , wobei die Variable (der affinen Geraden) auf abgebildet wird.

Wenn eine -Algebra über einem Körper ist, so definiert auch einen Morphismus lokal beringter Räume . Dabei wird ein Punkt auf den Kern des Ringhomomorphismus

abgebildet.

Beweis  

Das Ringelement definiert einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus , nämlich den Einsetzungshomomorphismus. Nach Satz 9.9 gibt es dazu einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume

Der Zusatz ergibt sich entsprechend.



Korollar

Es sei ein lokal beringter Raum.

Dann definiert jedes Funktionstupel einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume , wobei die Variable (des affinen Raumes) auf abgebildet wird.

Wenn eine -Algebra über einem kommutativen Ring ist, so definieren die auch einen Morphismus lokal beringter Räume . Dabei wird ein Punkt auf den Kern des Ringhomomorphismus

abgebildet.

Beweis

Siehe Aufgabe 9.3.

Ein Morphismus in einen affinen Raum ist also nichts anderes als ein Tupel von globalen Funktionen.

Wenn

ein Morphismus ist, so ist für jede offene Teilmenge auch die induzierte Abbildung

ein Morphismus. Wenn zusätzlich affin ist, so wird ein solcher Morphismus lokal (bezogen auf ) wegen Satz 9.9 durch einen Ringhomomorphismus gegeben. Dies bedeutet, dass ein Schemamorphismus mit Hilfe einer affinen Überdeckung

im Wesentlichen durch die Ringhomomorphismen

bestimmt ist.



Schema über Basisschema

Bei einer kommutativen -Algebra über einem Körper ist durch den kanonischen Ringhomomorphismus eine kanonische Spektrumsabbildung

festgelegt, die ja topologisch einfach die konstante Abbildung ist, die aber dennoch festlegt, wie die Konstanten aus zu interpretieren sind. Im Kontext von Schemata wird die Rolle eines Grundringes von einem Basisschema übernommen.


Definition  

Ein Schema zusammen mit einem fixierten Morphismus zu einem weiteren Schema heißt ein Schema über . Dabei heißt das Basisschema.

Häufig ist das Basisschema einfach das Spektrum eines Körpers. Wegen Korollar 9.11 ist jedes Schema in eindeutiger Weise ein Schema über . Bei einem Schema über spricht man auch von einem Schema über . Die Rolle von Algebrahomomorphismen wird durch Morphismen übernommen, die mit der Basis verträglich sind.


Definition  

Es seien und Schemata über dem Basisschema . Ein Schemamorphismus heißt Schemamorphismus über , wenn das Diagramm

kommutiert.


Definition  

Ein Schemamorphismus heißt von endlichem Typ, wenn es eine affine offene Überdeckung derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen

gibt so, dass zu jedem die Ringhomomorphismen

von endlichem Typ sind.



Einbettungen

Definition  

Ein Schemamorphismus heißt offene Einbettung, wenn einen Isomorphismus mit einer offenen Teilmenge von induziert.


Definition  

Ein Schemamorphismus heißt abgeschlossene Einbettung, wenn das Bild eine abgeschlossene Teilmenge von ist, ein Homöomorphismus vorliegt und der zugehörige Garbenhomomorphismus surjektiv ist.


Definition  

Ein Schemamorphismus heißt Einbettung, wenn es eine Faktorisierung

mit einer offenen Einbettung und einer abgeschlossenen Einbettung gibt.


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