Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 8

Aufgabe

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in $R$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal $𝔪$ in einem kommutativen Ring $R$ ein Primideal ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔭$ ein Ideal. Zeige, dass $𝔭$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring $R/𝔭$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe *

Es sei $𝔞$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass $𝔞$ genau dann ein Primideal ist, wenn $𝔞$ der Kern eines Ringhomomorphismus $\phi :R\to K$ in einen Körper $K$ ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal und  $M\subseteq R$  ein multiplikatives System mit  $𝔞\cap M=\mathrm{\varnothing }$.  Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal $𝔭$ mit  $𝔞\subseteq 𝔭$  und mit  $𝔭\cap M=\mathrm{\varnothing }$  gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring

$S=R/𝔞.$

Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die $𝔞$ umfassen.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum $\mathrm{Spek}\left(R_{𝔭}\right)$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes $R$ an einem Primideal $𝔭$.

Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $\phi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei $𝔭$ ein Primideal in $S$. Zeige, dass das Urbild ${\phi }^{-1}(𝔭)$ ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei

$\phi :R⟶S$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $R$ und $S$ und es sei  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(S\right)$  ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

$R_{{\phi }^{-1}(𝔭)}⟶S_{𝔭}$

(zwischen den Lokalisierungen) und

$\kappa ({\phi }^{-1}(𝔭))⟶\kappa \left(𝔭\right)$

(zwischen den Restekörpern) gibt.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-Algebren. Es sei

$\phi :R⟶S$

ein $K$-Algebrahomomorphismus und $𝔫$ ein maximales Ideal in $S$ mit  ${\phi }^{-1}(𝔫)=𝔪$.  Die Abbildung induziere einen Isomorphismus $R_{𝔪}\to S_{𝔫}$. Zeige, dass es dann auch ein $f\in R$, $f\in ̸𝔪$, derart gibt, dass $R_f\to S_{\phi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

$R⟶R/{𝔫}_R$

eines kommutativen Ringes $R$ eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼f^p,$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik  $p>0$.  Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

$R⟶R,f⟼f^p,$

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Es seien $R_1$ und $R_2$ kommutative Ringe mit dem Produktring  $R=R_1\times R_2$.  Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

$\mathrm{Spek}\left(R_1\right)\uplus \mathrm{Spek}\left(R_2\right)⟶\mathrm{Spek}(R_1\times R_2).$

gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung  $R\subseteq R[X_1,\dots ,X_n]$. 

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu  $ℝ[X]\subseteq ℂ[X]$. 

Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem $ℂ$-Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt.

Aufgabe

Es sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $ℂ$-Algebra. Zeige, dass es auf dem $ℂ$-Spektrum $ℂ-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ eine natürliche Topologie (oder komplexe Topologie) gibt, die im Falle des Polynomringes $ℂ[X_1,\dots ,X_n]$ mit der metrischen Topologie auf dem ${ℂ}^n$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem $ℂ$-Algebrahomomorphismus $\phi :R\to S$ zwischen endlich erzeugten $ℂ$-Algebren $R$ und $S$ die induzierte Abbildung

$ℂ-\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶ℂ-\mathrm{Spek}\left(R\right)$

stetig in der natürlichen Topologie ist.

Aufgabe

Es sei  $P\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼P(z),$

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen  $T\subseteq ℂ$  beschränkt sind.

Aufgabe

Es seien  $F_1,\dots ,F_k\in ℂ[X_1,\dots ,X_n]$  Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte $ℂ$-Algebrahomomorphismus

$ℂ[Y_1,\dots ,Y_k]⟶ℂ[X_1,\dots ,X_n],Y_j⟼F_j,$

ganz ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung

${ℂ}^n⟶{ℂ}^k,(x_1,\dots ,x_n)⟼(F_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,F_k(x_1,\dots ,x_n)),$

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen  $T\subseteq {ℂ}^k$  wieder beschränkt sind.

Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung $F$ eigentlich ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass $F$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu  $\mathbb{Q}[X]\subseteq ℝ[X]$.  Welche sind endlich?

Aufgabe

Es sei $\phi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶\mathrm{Spek}\left(R\right),𝔭⟼{\phi }^{\ast }(𝔭),$

die zugehörige Spektrumsabbildung. Zeige, dass die Faser über einem Primideal  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  in kanonischer Weise homöomorph zu $\mathrm{Spec}(S{\otimes }_R\kappa (𝔭))$ ist.