Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 8

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Aufgabe

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in gibt.


Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ein Primideal ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System mit . Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal mit und mit gibt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.


Aufgabe

Beschreibe das Spektrum einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.


Aufgabe

Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und und es sei ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

(zwischen den Lokalisierungen) und

(zwischen den Restekörpern) gibt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte -Algebren. Es sei

ein -Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

eines kommutativen Ringes eine Homöomorphie ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik . Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

eine Homöomorphie ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung .


Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu .


Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem -Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt.

Aufgabe

Es sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra. Zeige, dass es auf dem -Spektrum eine natürliche Topologie (oder komplexe Topologie) gibt, die im Falle des Polynomringes mit der metrischen Topologie auf dem übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem -Algebrahomomorphismus zwischen endlich erzeugten -Algebren und die induzierte Abbildung

stetig in der natürlichen Topologie ist.


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Funktion

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen beschränkt sind.


Aufgabe

Es seien Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte -Algebrahomomorphismus

ganz ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen wieder beschränkt sind.


Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung eigentlich ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass abgeschlossen ist.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu . Welche sind endlich?


Aufgabe

Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung. Zeige, dass die Faser über einem Primideal in kanonischer Weise homöomorph zu ist.



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