Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 6

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Exaktheit

Definition  

Es sei ein topologischer Raum, es seien Garben von kommutativen Gruppen auf und es seien Homomorphismen. Man sagt, dass ein Garbenkomplex vorliegt, wenn

gilt.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf . Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn

für alle gilt.



Lemma  

Es sei ein topologischer Raum und es sei

ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf .

Dann ist der Komplex genau dann exakt, wenn für jeden Punkt der Komplex

exakt ist.

Beweis  

Wir benennen die Situation mit

Nach Korollar 4.11 liegt ein Garbenkomplex genau dann vor, wenn sämtliche Halmabbildungen Komplexe sind. Sei der Komplex exakt, also

Es sei fixiert und sei mit . Dann gibt es eine offene Umgebung von auf der durch einen Schnitt repräsentiert wird und eine kleinere offene Umgebung , worauf ist. Das Element (wir nennen die Einschränkung wieder ) gehört also zum Kern von und daher zum (Garben-)Bild von . D.h. es gibt eine offene Umgebung , auf der im Bild von

liegt. Daher liegt auch der Keim im Bild von .



Definition  

Ein exakter Komplex

von Garben von kommutativen Gruppen heißt kurze exakte Sequenz.

Hierbei ist insbesondere die vordere Abbildung injektiv und die hintere Abbildung (Garben)-surjektiv.



Lemma  

Es sei

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage die induzierte Topologie von und die Surjektion habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt.

Dann ist für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

ebenfalls exakt.

Beweis  

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge eine stetige Abbildung die Eigenschaft besitzt, dass die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von in . Da die induzierte Topologie von trägt, ist auch die Abbildung stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei ein Punkt und

eine auf einer offenen Umgebung von definierte stetige Abbildung nach . Es sei . Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung und einen Schnitt mit . Wir betrachten

Dann ist (eingeschränkt auf ) ein stetiger Schnitt von , der unter auf abgebildet wird.



Beispiel  

Wir betrachten die kurze exakte Exponentialsequenz

von topologischen Gruppen. Die Exaktheit in der Mitte beruht auf Satz 21.5 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))  (2), die Homomorphieeigenschaft beruht auf der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialfunktion bildet nach Satz 21.6 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)) surjektiv auf ab (sie ist eine Überlagerung). Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von Lemma 6.5 erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum eine kurze exakte Garbensequenz

die die (stetige komplexe) Exponentialsequenz heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in , in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.




Globale Auswertung



Lemma  

Es sei ein topologischer Raum und sei

ein Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf .

Dann ist auch

ein Komplex.

Beweis  

Die Voraussetzung bedeutet einfach, dass die Nullabbildung ist. Dann ist insbesondere die globale Auswertung die Nullabbildung.




Lemma  

Es sei ein topologischer Raum. Es sei

ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf .

Dann ist auch der Komplex

exakt.

Beweis  

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nach Lemma 6.7. Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt der Komplex

der Halme exakt ist. Sei und in . Dann ist in jedem Punkt und somit ist für jeden Punkt. Also ist und die linke Abbildung ist injektiv. Sei nun mit in . Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt der Keim zu gehört. Daraus folgt, dass selbst zu gehört.


Die vorstehende Aussage bedeutet, dass die globale Auswertung einer Garbe von abelschen Gruppen ein (kovarianter, additiver) linksexakter Funktor ist.



Rückzug und Vorschub

Bisher haben wir nur Garben und ihre Beziehungen untereinander auf einem gegebenen topologischen Raum behandelt. Wir betrachten nun den Fall, wo topologische Räume durch eine stetige Abbildung miteinander verbunden sind.


Definition  

Zu einer stetigen Abbildung

und einer Prägarbe auf nennt man die durch

gegebene Prägarbe auf die unter vorgeschobene Prägarbe.

Da zu offenen Mengen auch gilt, hat man natürliche Restriktionsabbildungen und erhält somit in der Tat eine Prägarbe.



Lemma  

Zu einer stetigen Abbildung

und einer Garbe auf ist die vorgeschobene Prägarbe

eine Garbe.

Beweis  

Es sei

eine offene Überdeckung einer offenen Menge . Dann bilden die , , eine offene Überdeckung von . Seien mit gegeben. Dies bedeutet unmittelbar und

Daher ist (nach der ersten Garbeneigenschaft von ) in , also in .

Seien nun mit

Dies bedeutet zurückübersetzt nach unmittelbar, dass kompatible Schnitte in vorliegen, denen ein Schnitt in entspricht.



Lemma

Zu einer stetigen Abbildung

einem Punkt und einer Prägarbe auf ist der Halm der vorgeschobenen Prägarbe im Punkt gleich

Beweis

Siehe Aufgabe 6.5.

Der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ist also der Halm der Ausgangsgarbe in einem Filter (nämlich dem Urbildfilter des Umgebungsfilters ), aber im Allgemeinen nicht in einem Punkt.


Definition  

Zu einer stetigen Abbildung

und einer Prägarbe auf nennt man auf einer offenen Menge durch

gegebene Prägarbe auf die unter zurückgezogene Prägarbe.


Definition  

Zu einer stetigen Abbildung und einer Garbe auf nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.

Sie wird mit bezeichnet.



Lemma

Zu einer stetigen Abbildung und einer Garbe auf

ist der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt gleich dem Halm von in .

Beweis

Siehe Aufgabe 6.6.


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