Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 6

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Beringte Räume

Definition  

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.

Ein beringter Raum wird oft in der Form angegeben, wobei der zugrunde liegende Raum ist und die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die Strukturgarbe des beringten Raumes. Die Auswertung nennt man auch den Schnittring zur offenen Menge und den globalen Schnittring. Im Anschluss an Beispiel 3.9 bzw. Beispiel 3.10 haben wir die folgenden Standardbeispiele.


Beispiel  

Es sei ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge ist

ein kommutativer Ring und die Zuordnung ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch zu einem beringten Raum wird.



Beispiel  

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist zu jeder offenen Teilmenge durch

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch zu einem beringten Raum wird.



Beispiel  

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ist zu jeder offenen Teilmenge durch

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch zu einem beringten Raum wird.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und ein einpunktiger topologischer Raum. Dieser wird durch die Festlegung und zu einem beringten Raum.



Definition  

Zu einem Punkt in einem beringten Raum nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt .

Er wird mit oder kurz mit bezeichnet.



Morphismen von beringten Räumen

Zu einer stetigen Abbildung zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge der Ringhomomorphismus

Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch . Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.


Definition  

Es seien und beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

zu jeder offenen Menge , die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen das Diagramm

kommutiert. Ein Morphismus von beringten Räumen induziert für jeden Punkt einen Ringhomomorphismus der Halme

wobei ein , das durch mit einer offenen Umgebung repräsentiert wird, auf den Keim von abgebildet wird.


Definition  

Ein Morphismus beringter Räume heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus beringter Räume mit und (als Identität von beringten Räumen) gibt.



Verklebungsdaten für beringte Räume

Die folgende Konstruktion ist eine Erweiterung von Lemma 2.6.


Definition  

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

  1. Eine Familie , , von beringten Räumen.
  2. Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
  3. Für jedes Paar einen Isomorphismus

    von beringten Räumen (mit .)

  4. Für Indizes ist die Kozykelbedingung

    als Homomorphismus von nach erfüllt.



Lemma  

Es sei ein Verklebungsdatum , , für beringte Räume gegeben.

Dann gibt es einen beringten Raum , eine offene Überdeckung und Isomorphismen derart, dass

ist und

gilt.

Beweis  

Die Existenz eines zugrunde liegenden Raumes ergibt sich aus Lemma 2.6. Zu einer offenen Menge liegt eine Überdeckung

vor und wir setzen

Dies ist eine Garbe auf von kommutativen Ringen, die auf den über die mit den vorgegebenen Garben auf übereinstimmt.




Lokal beringte Räume

Definition  

Ein beringter Raum heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt der Halm ein lokaler Ring ist.


Beispiel  

Ein topologischer Raum ist mit der Garbe der stetigen Funktionen ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt und eine in einer offenen Umgebung von definierte stetige Funktion gilt genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der invertierbar ist. Daher sind die Halme lokale Ringe und ist lokal beringt.


Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.


Definition  

Zu einem lokal beringten Raum und einem Punkt nennt man den Restekörper des lokalen Ringes den Restekörper von . Er wird mit bezeichnet.

Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach , siehe Aufgabe 6.14.


Definition  

Zu einem lokal beringten Raum , einem Punkt und einer globalen Funktion nennt man den Wert von im Restekörper von die Auswertung von in . Sie wird mit bezeichnet.

IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem und jedem Punkt die Äquivalenz in genau dann, wenn genau dann, wenn ist keine Einheit in .


Definition  

Es seien und lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von nach ist ein Morphismus der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen

für jeden Punkt lokale Homomorphismen sind.



Der Invertierbarkeitsort



Lemma  

Zu einem lokal beringten Raum und einer globalen Funktion ist

offen.

Beweis  

Zunächst ist im Restekörper genau dann, wenn im lokalen Ring gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn in nicht invertierbar ist. Sei . Dann ist in invertierbar und es gibt mit . Es gibt eine offene Umgebung mit (einem Repräsentanten)

und eine eventuell kleinere offene Umgebung mit . Auf dieser offenen Umgebung ist somit invertierbar und es gilt . Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass offen ist.


Die Menge der Punkte, für die als Element im Halm nicht ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe Beispiel 10.17.


Definition  

Zu einem lokal beringten Raum und einer globalen Funktion nennt man

den Invertierbarkeitsort von .

Nach Aufgabe 6.18 ist in eine Einheit.



Lemma  

Es seien und lokal beringte Räume und ein Morphismus lokal beringter Räume.

Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte zu die Beziehung

Beweis  

Das Element ist in eine Einheit und der Ringhomomorphismus

zeigt, dass in eine Einheit ist, was bedeutet. Für einen Punkt

ist eine Einheit im lokalen Ring . Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus

muss auch eine Einheit sein, was und damit

bedeutet.



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