Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 1

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ${}P\in G$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ${}v\in T_{P}Z$ ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser ${}Z$ zu ${}\varphi$ durch ${}P$. Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow Z$

(für ein geeignetes ${}\epsilon >0$) mit ${}\gamma (0)=P$ und mit

${}\gamma '(t)=v\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(0)$ die Faser zu ${}0$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$g\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion, die auf ${}Y$ keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass man ${}Y$ genau so gut als Faser zu

${}{\tilde {h}}=gh\,$

erhalten kann, dass die Gradienten zu ${}h$ und zu ${}{\tilde {h}}$ skalare Vielfache voneinander sind und dass die Tangentialräume nur von ${}Y$ abhängen.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isomorphie, ${}W'=L^{-1}(W)$ und

${}Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$

Zeige, dass sich die Konzepte Tangentialraum, tangentiales Vektorfeld, Lösung zu einer zugehörigen tangentialen Differentialgleichung auf ${}Y$ und auf ${}Z$ im Allgemeinen entsprechen (also mit Hilfe von ${}L$ ineinander überführt werden können). Wie sieht es mit dem Gradienten aus?

Aufgabe

Es sei ${}Y=h^{-1}(c)$ eine differenzierbare Hyperfläche und sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U$ definierte stetig differenzierbare Funktion. Es besitze ${}f$ in ${}P\in Y$ ein lokales Extremum auf ${}Y$. Zeige, dass die tangentiale Komponente von ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitskugeloberfläche. Bestimme die orthogonale Zerlegung des Vektors ${}{\begin{pmatrix}6\\7\\-3\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\in Y$.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre. Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow Y$

die gleichförmige Kreisbewegung, die die Sphäre auf der Höhe ${}{\frac {1}{2}}$ durchläuft.

1. Parametrisiere ${}\gamma$.
2. Bestimme die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$ zu jedem Zeitpunkt ${}t\in [0,2\pi ]$.

Aufgabe

Es sei ${}Y$ der Graph zu

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3},$

und es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y$

der Weg auf dem Graphen oberhalb der Basiskurve ${}t\mapsto (t,t)$. Bestimme zu jedem ${}t\in \mathbb {R}$ die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$ in ${}\gamma (t)$.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Hyperebene, also die Faser zu einer linearen Funktion

${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}\,$

über ${}c\in \mathbb {R}$ mit ${}a_{i}\neq 0$ für zumindest einen Index ${}i$. Interpretiere die Begriffe totales Differential, Gradient, Tangentialraum, Zerlegung in tangentiale und normale Komponente, tangentiale Beschleunigung und geodätische Kurve in diesem Spezialfall.

Aufgabe

Es sei ${}Y=h^{-1}(c)$ eine differenzierbare Hyperfläche, die eine Gerade ${}P+\mathbb {R} v$ enthalte. Zeige, dass die gleichförmig durchlaufene Gerade eine geodätische Kurve auf ${}Y$ ist.

Zwei Punkte ${}P,Q\in K$, ${}P\neq Q$, heißen antipodal, wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht antipodale Punkte ${}P,Q\in K$, ${}P\neq Q$, auf genau einem Großkreis von ${}K$ liegen.

Warum fliegt das Flugzeug einen Bogen?

Aufgabe

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein findet, dass die Tage zu kurz sind. Daher entschließt sie sich, jeden Tag, und zwar bei Tageslicht, um eine Zeitzone nach Westen zu fliegen, damit jeder Tag ${}25$ statt ${}24$ Stunden besitzt.

1. Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie den Anteil an Lichtstunden in ihrem Leben erhöhen?
2. Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie ihr Leben verlängern?
3. Lucy hat jetzt Freunde in aller Welt. Nach wie vielen Tagen sieht sie sie wieder?
4. Wodurch erlebt Lucy zeitliche Einbußen, die ihren täglichen Zeitgewinn ausgleichen?
5. Hat das was mit Relativitätstheorie zu tun?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zweifach differenzierbare Kurve an, die sich auf einem Großkreis der Einheitssphäre bewegt, die aber keine geodätische Kurve ist.

Aufgabe

Ein geodätisches Dreieck auf der Sphäre

${}S^{2}={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$

besteht aus drei Punkten ${}A,B,C\in S^{2}$, wobei je zwei Punkte durch einen Ausschnitt eines Großkreises verbunden werden (die Punkte seien nicht antipodal). Zeige, dass die Summe der Innenwinkel des Dreiecks größer als ${}\pi$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}Y$ die Hyperfläche, die durch die Bedingung

${}2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=10\,$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben ist. Bestimme die orthogonale Zerlegung des Vektors ${}{\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt ${}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}\in Y$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}Y$ der Graph zu

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2},$

und es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y$

der Weg auf dem Graphen oberhalb der Basiskurve ${}x\mapsto (x,1)$. Bestimme zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$ in ${}\gamma (x)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Am 11.4.2023 um 17:45 Uhr wird zur allgemeinen Verwunderung plötzlich die Erddrehung um die eigene Achse angehalten. GLeichzeitig werden der Luftwiderstand und sonstige Reibungsverluste abgestellt. Alle Menschen, Tiere und Gegenstände, die nicht fixiert sind oder sich nicht rechtzeitig festhalten, führen ihre momentane Bewegung nach dem Trägheitsgesetz einfach fort. Die Gravitation bleibt bestehen, sodass man zum Glück nicht in das Weltall entweicht. Wann kommt der Tafelschwamm aus dem Osnabrücker Hörsaal (er fliegt aus dem Fenster) zum ersten Mal wieder zu seiner Ausgangsposition zurück?

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.

1. Zeige, dass wenn ${}\gamma$ eine geodätische Kurve ist, dann die Norm von ${}\gamma '$ konstant ist,
2. Man gebe ein Beispiel einer Kurve mit konstanter Geschwindigkeitsnorm, die keine geodätische Kurve ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}h,g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ stetig differenzierbare Funktionen und ${}Y=h^{-1}(c)$ bzw. ${}Z=h^{-1}(d)$ die zugehörigen differenzierbaren Hyperflächen, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ und ${}g$ in jedem Punkt von ${}Z$ regulär sei. Es sei ${}T=Y\cap Z$ und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow T$

eine zweimal stetig differenzierbare Kurve, die aufgefasst als Kurve in ${}Y$ eine geodätische Kurve sei. Ist ${}\gamma$ auch eine geodätische Kurve in ${}Z$?

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