Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 1

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$. Diese Teilmengen werden insbesondere im Kontext des Satzes über implizite Abbildungen studiert. Wenn das totale Differential

$\left(Dh\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

für jeden Punkt ${}P\in Y$ surjektiv ist, wenn also stets ${}P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist, so ist ${}Y$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ homöomorph zu einer offenen Menge im ${}\mathbb {R} ^{n-1}$. Ferner haben wir in diesem Kontext den Tangentialraum an die Faser als den Kern des totalen Differentials eingeführt. Dieser ist ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{n}$, man stellt sich ihn aber typischerweise als an den Punkt anliegend vor, also als einen affin-linearen Raum. Dieser Tangentialraum schmiegt sich im Punkt ${}P$ an die Hyperfläche ${}Y$ an. Wir besprechen einige geometrische Objekte, die zwar im umgebenden linearen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ existieren, die aber mit der Hyperfläche ${}Y$ in einer derart intensiven Beziehung stehen, dass man sie ausschließlich als Objekte auf ${}Y$ erfassen und studieren möchte.

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine differenzierbare Kurve, die ganz in ${}Y$ verläuft, wobei ${}I$ ein offenes Intervall ist. Dann gehört zu jedem Zeitpunkt ${}t\in I$ die Ableitung ${}\gamma '(t)$ zum Tangentialraum an ${}Y$ im Punkt ${}\gamma (t)$. Dies beruht auf der Konstanz ${}h\circ \gamma =c$, woraus mit der Kettenregel

${}\left(Dh\circ \gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}\circ \left(D\gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))=0\,,$

also ${}\gamma '(t)\in \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{\gamma (t)}$ folgt. Mit Aufgabe 1. ergibt sich ferner, dass jeder Tangentialvektor in ${}P$ an ${}Y$ sich durch eine differenzierbare Kurve auf ${}Y$ realisieren lässt.

Beispiel

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Der Graph von ${}f$ ist

${}Y={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\mid x_{1},\ldots ,x_{n-1}\in V\right\}}\subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$

die man auch als Nullstelle von

${}h(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{n}-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\,$

auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von ${}h$ sind

$-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}},1.$

Insbesondere ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Der Tangentialraum an ${}Y$ in einem Punkt ${}P\in Y$ steht senkrecht auf ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}(P)\\1\end{pmatrix}}$. Jede parametrisierte Grundgerade ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}$ wird zur parametrisierten Kurve

$I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

auf ${}Y$, deren Ableitung im Grundpunkt einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu

${}v=e_{i}\,$

mit ${}\gamma _{i}$ bezeichnet, so ist

${}\gamma '_{i}(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\1\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma _{i}^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$

nach Satz 49.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Satz

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in Y$ der Vektor ${}F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in ${}P$ an ${}Y$ gehört.

Dann verläuft die Lösung ${}v(t)$ zum Anfangswertproblem zu ${}F$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})\in Y$ ganz in ${}Y$.

Beweis

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ und mit dem Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h$ zu ${}h$. Dieser ist nach Voraussetzung auf ${}Y$ nirgendwo gleich ${}0$ und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von ${}Y$. Indem wir ${}U$ eventuell verkleiner, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz ${}U$ nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf ${}U$ das neue Vektorfeld ${}G$, das durch

${}G(P)=F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

gegeben ist. Für ${}P\in Y$ ist ${}G(P)=F(P)$, da ja der Gradient senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt ${}G$ (im Unterschied zu ${}F$) die Eigenschaft, dass für alle Punkte ${}Q\in U$ der Vektor ${}G(P)$ senkrecht zum Gradient steht, es ist ja

${}{\begin{aligned}\left\langle G(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle &=\left\langle F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle -\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Es sei nun

$v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu ${}G$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=Q\in Y$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\left(Dh\circ v\right)_{t}&=\left(Dh\right)_{v(t)}\circ \left(Dv\right)_{t}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(G(v(t))\right)}\\&=\left\langle \operatorname {Grad} \,h(v(t)),G(v(t))\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Daher ist ${}h$ auf dem Bild ${}v(I)$ konstant und wegen ${}h(v(t_{0}))=c$ ist ${}h(v(t))=c$ für alle ${}t\in I$, also ${}v(t)\in Y$ für alle ${}t\in I$.

$\Box$

Einen anderen Beweis für diese Aussage erhält man, wenn man das Vektorfeld ${}F$ über einen Homöomorphismus zwischen ${}P\in V\subseteq Y$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ nach ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ transportiert, dort die Existenz der Lösung nachweist und die Lösung nach ${}Y$ wieder zurück transportiert und diese stückweisen Lösungen zusammenklebt.

Bemerkung  

Wir betrachten die Kurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

die sich vollständig auf dem Einheitskreis bewegt. Entsprechend sind die Ableitungen ${}v'(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}$ stets tangential zum Einheitskreis. Die Norm davon ist konstant gleich ${}1$, der Einheitskreis wird gleichförmig mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit durchlaufen. Allerdings ändert sich die Geschwindigkeitsrichtung kontinuierlich und die zweite Ableitung ist

${}v^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}=-v(t)\,.$

Die Beschleunigung ist das Negative des Ortsvektors und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Wenn man den Tangentialraum der umgebenden Ebene in einem Punkt ${}P$ des Kreises, also der ${}\mathbb {R} ^{2}$ aufgefasst mit ${}P$ als Ursprung, zerlegt in die zum Kreis tangentiale Richtung (Tangentialraum an die Faser) und in die dazu senkrechte Richtung (Normalraum) (im Sinne einer Zerlegung eines Vektorraumes als direkte Summe von Untervektorräumen), so spielt sich die Beschleunigung allein im Normalraum ab, die senkrechte Projektion auf den Tangentialraum ist ${}0$. In diesem Sinn ist die Beschleunigung irrelevant für die Bewegung auf dem Einheitskreis.

Wir betrachten nun allgemeiner eine Kurve

$w\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}},$

wobei ${}f$ eine zweifach differenzierbare reelle Funktion ist. Diese Kurve bewegt sich wie zuvor auf dem Einheitskreis, die Ableitung ist

${}w'(t)=f'(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}\,,$

also wie zuvor stets tangential zum Einheitskreis, wobei die Geschwindigkeitsnorm jetzt gleich ${}\vert {f'(t)}\vert$ ist. Die zweite Ableitung ist

${}w^{\prime \prime }(t)=f^{\prime \prime }(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,,$

wobei hier direkt die Zerlegung in die tangentiale und die dazu orthogonale Komponente steht. Die tangentiale Komponente, bei ${}f$ nicht konstant gibt es also Beschleunigung in tangentialer Richtung.

Bei einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in Y$ kann man stets den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$, aufgefasst als Tangentialraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$ in ${}P$, orthogonal zerlegen als

${}\mathbb {R} ^{n}=T_{P}Y\oplus N_{P}Y\,,$

wobei ${}N_{P}Y$ eine Gerade ist, die aus allen ${}T_{P}Y$ zu allen Punkten besteht und die Normalengerade heißt. Ein Normalenvektor ist ein Element der Normalegeraden mit Norm ${}1$, wovon es zwei gibt, die zueinander negativ sind. Durch die orthogonale Projektion längs ${}N_{P}Y$, also die Abbildung

$p\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

kann man jedem Objekt im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein Objekt im Tangentialraum zuordnen.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve. Dann nennt man die Abbildung

$I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$

wobei ${}\pi _{P}$ die orthogonale Projektion

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von ${}\gamma$.

Die Idee von einer zweiten Ableitung, die tangential zur Hyperfläche ist, wird allgemein im Kontext von den sogenannten Zusammenhängen weiterentwickelt.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

heißt Geodätische (oder geodätische Kurve auf ${}Y$), wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ${}0$ ist.

Eine zweifach differenzierbare Kurve ist genau dann eine Geodätische, wenn ihre zweite Ableitung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Später werden wir eine Beziehung zwischen solchen Geodätischen und kürzesten Verbindungen auf ${}Y$ zwischen zwei Punkten auf ${}Y$ kennenlernen.

Definition

Der Durchschnitt einer Kugeloberfläche ${}S$ mit einer durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Ebene heißt ein Großkreis auf ${}S$.

Auf der Erdkugel sind der Äquator und die Längenkreise Großkreise, die Breitenkreise im Allgemeinen nicht.

Beispiel

Wir befinden uns auf der Einheitskugel

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

In ${}P\in Y$ befindet sich ein Teilchen, das einen Bewegungsimpuls in eine bestimmte tangentiale Richtung ${}v\in T_{P}Y$ erhält. Es bewegt sich also in diese Richtung (ungebremst und unbeschleunigt) weiter, wobei es allerdings immer auf der Kugel bleiben muss (wegen der Erdanziehung bzw. wegen dem festen Boden). Der Punkt sei durch ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ gegeben und der dazu senkrechte Tangentialvektor, der den momentanen Impuls beschreibt, durch

${}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}\,,$

wobei ${}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ ein Orthonormalvektor sei. Die Bewegung findet auf der durch diese beiden Vektoren bestimmten Ebenen und auf der Sphäre statt. Eine parametrisierte Beschreibung ist

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}\gamma (0)={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ und ${}\gamma '(t)=-a\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+a\cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$, also ${}\gamma '(0)=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$.

Beispiel

Wir betrachten den Zylindermantel

${}Z={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Geometrisch ergeben sich die folgenden Bewegungen auf dem Zylinder, bei denen die Beschleunigung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Der Tangentialraum im Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ ist durch ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gegeben, dazu senkrecht ist ${}-{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$. Bei den folgenden Bewegungen kann man die Skalierung affin-linear abändern.

1. Bewegung auf einer Geraden auf dem Zylindermantel parallel zur inneren Achse:

   ${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\t\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1$. Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}0$.

2. Eine Kreisbewegung, gegeben durch

   ${}\delta (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\c\end{pmatrix}}\,.$

   Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.

3. 

   Eine Schraubenlinie (Helix) gegeben durch

   ${}\epsilon (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\et\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}e\neq 0$. Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\e\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.

Rotationsflächen

Es sei eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

mit ${}y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge

${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die ${}x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass ${}\gamma$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild ${}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}$ bewirkt.

Lemma

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Dann besitzt die Rotationsfläche ${}Y$ (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}Y$ die Nullstelle zu

   $h\colon I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y^{2}+z^{2}-f(x)^{2}.$

2. Die beschreibende Funktion ${}h$ ist in jedem Punkt von ${}Y$ regulär.
3. Der Tangentialraum von ${}Y$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist (bei ${}z\neq 0$)

   ${}T_{P}Y=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\z\\-y\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}z\\0\\f(x)f'(x)\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

(1) ist klar. Die Jacobimatrix von ${}h$ ist ${}2\left(-f(x)f'(x),\,y,\,z\right)$. Wegen der Positivität von ${}f$ kann ${}y=z=0$ nicht sein, daher ist ${}h$ auf ${}Y$ regulär. Die angegebenen Vektoren sind bei ${}z\neq 0$ linear unabhängig und gehören zum Kern der Jacobimatrix.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}Y$ die Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$. Es sei

$\gamma \colon J\longrightarrow I,\,t\longmapsto \gamma (t),$

eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass ${}\left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\right)$ ein Parametrisierung des Graphen mit konstanter Geschwindigkeit ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Zu jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)=\left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right)\in Y$ ist

   $\theta \colon J\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\cos \alpha ,\,f(\gamma (t))\sin \alpha \right),$

   eine Geodätische.

2. Eine Kreiskurve

   $\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{2},\,\alpha \longmapsto \left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right),$

   ist genau dann eine Geodätische, wenn ${}f'(x)=0$ ist.

Beweis

1. Die Kurve ${}\theta$ bewegt sich in der Ebene ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung ${}\alpha =0$ annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von ${}f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht

   ${}\theta '(t)={\begin{pmatrix}\gamma '(t)\\f'(\gamma (t))\gamma '(t)\\0\end{pmatrix}}\,$

   senkrecht auf

   ${}\theta ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime \prime }(t)\\f'(\gamma (t))\gamma ^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(\gamma (t)){\left(\gamma ^{\prime }(t)\right)}^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich ${}0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.

2. Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte ${}x$ gegebenen Ebene ab, die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich ${}-{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ und in dieser Ebene proportional zum Ortspunkt. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x)\\0\end{pmatrix}}$ gegeben. Dieser steht nur bei ${}f'(x)=0$ stets senkrecht auf der Beschleunigung.

$\Box$

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