Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 3

Krümmung von bogenparametrisierten Kurven

Definition

Eine differenzierbare Kurve

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto f(t)=\left(f_{1}(t),\,\ldots ,\,f_{n}(t)\right),$

heißt bogenparametrisiert, wenn ${}f_{1}'(t)^{2}+\cdots +f_{n}'(t)^{2}=1$ für alle ${}t$ gilt.

Nach Aufgabe 2.3 besitzt eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve die Eigenschaft, dass die zweite Ableitung ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ stets senkrecht auf der ersten Ableitung ${}\gamma ^{\prime }(t)$ steht.

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare Kurve und ${}t\in I$. Eine naheliegende Möglichkeiten, das Verhalten der Kurve im Punkt ${}t$ bzw. ${}\gamma (t)$ über die Tangente hinaus zu approximieren besteht darin, einen Kreis anzugeben, der sich an die Kurve besonders gut anschmiegt, bzw. eine Kreisbewegung anzugeben, die bis zur zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Die Kurve sei bogenparametrisiert.

Definition

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$, wobei die zweite Ableitung ${}\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht ${}0$ sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius

${}r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$

und dem Mittelpunkt

${}M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

den Krümmungskreis zu ${}\gamma$ in ${}t_{0}$.

Definition

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$. Dann nennt man

${}\kappa (t_{0})=\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\,$

die Krümmung der Kurve in ${}t_{0}$.

Statt Krümmungskreis sagt man auch Schmiegkreis. Da im bogenparametrisierten Fall ${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}$ senkrecht aufeinander stehen und die zweite Ableitung nicht ${}0$ ist, bilden diese Vektoren eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ und daher ist ihre Determinante, die ja als Nenner in der Definition des Krümmungskreises auftritt, nicht ${}0$. Wenn diese Determinante (und damit die Krümmung) positiv ist, so repräsentiert diese Basis die Standardorientierung (also die Orientierung, die durch die Standardvektoren ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$) gegeben ist, andernfalls die Gegenorientierung. Bei positiver Krümmung wird die Bewegung (von der tangentialen Richtung aus gesehen) nach links abgelenkt, bei negativer Krümmung nach rechts. Bei positiver Krümmung kann man den Mittelpunkt des Krümmungskreises als

${}M=\gamma (t_{0})+r{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

und bei negativer Krümmung als

${}M=\gamma (t_{0})+r{\begin{pmatrix}\gamma _{2}'(t_{0})\\-\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

beschreiben. Gemäß Aufgabe 3.1 besitzt die umgekehrt durchlaufene Kurve die negierte Krümmung. Gelegentlich werden wir auch von der Krümmung der Kurve im Punkt ${}\gamma (t)\in \gamma (I)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ sprechen, was bei einer Kurve, die injektiv ist oder allenfalls periodisch mehrfach durchlaufen wird, unproblematisch ist.

Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}.$

Es ist

${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}\,.$

Die Krümmung zu jedem Zeitpunkt ${}t$ ist

${}\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\left(-\sin t\right)}{\left(-\sin t\right)}-\cos t{\left(-\cos t\right)}=1\,,$

der Krümmungsradius ist ${}1$ und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist

${}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,,$

der Krümmungskreis ist also stets der Einheitskreis.

Wenn man den Kreis mit dem Uhrzeigersinn durchläuft, also die Kurve

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(-s\right)\\\sin \left(-s\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos s\\-\sin s\end{pmatrix}},$

betrachtet, so ist die Krümmung gleich ${}-1$, Krümmungsradius und Krümmungskreis sind wie zuvor.

Die Definition des Krümmungskreises kann man bereits dann verwenden, wenn ${}\gamma '(t_{0})$ die Norm ${}1$ (also nur für ${}t_{0}$) besitzt, ohne dass eine bogenparametrisierte Kurve vorliegt, wenn man fordert, dass ${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}$ linear unabhängig sind. Wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, so sagt man auch, dass der Krümmungsradius unendlich ist.

Beispiel

Wir betrachten die Standardparabel als Kurve

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}$

im Nullpunkt ${}t_{0}=0$. Es ist

${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,.$

Dies ist im Allgemeinen nicht bogenparametrisiert, im Nullpunkt aber schon. Die zweite Ableitung ist

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\,$

unabhängig vom Zeitpunkt. Daher ist der Krümmungsradius gleich

${}r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(0)\gamma _{2}^{\prime \prime }(0)-\gamma _{2}'(0)\gamma _{1}^{\prime \prime }(0)}\vert }}={\frac {1}{2}}\,$

und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$.

Lemma

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$ mit

${}\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})\neq 0\,$

mit dem Krümmungskreis ${}K$ mit Mittelpunkt ${}M$ und Radius ${}r$. Wenn ${}\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ die Standardorientierung repräsentiert, so sei ${}\alpha \in [0,2\pi [$ derart, dass

${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.$

Wenn ${}\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht die Standardorientierung repräsentiert, so sei ${}\alpha \in [0,2\pi [$ derart, dass

${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\-\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist (im standardorientierten Fall)

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M+r{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\\\sin \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\end{pmatrix}},$

bzw. (im nichtstandardorientierten Fall)

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M+r{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\\-\sin \left(\alpha +{\frac {t}{r}}\right)\end{pmatrix}},$

eine bogenparametrisierte Bewegung auf dem Krümmungskreis, die in ${}t_{0}$ mit ${}\gamma$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

Beweis

Wir betrachten den standardorientierten Fall. Es ist

${}\delta (t_{0})=M+r{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}=\gamma (t_{0})+r{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}\gamma _{2}'(t_{0})\\-\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}=\gamma (t_{0})\,.$

Ferner ist

${}\delta '(t_{0})={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}=\gamma '(t_{0})\,,$

insbesondere ist ${}\delta$ bogenparametrisiert. Es steht ${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}$ senkrecht auf ${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}$ und ist daher linear abhängig zu dem Orthonormalvektor ${}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}$. Somit ist

${}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}=\left\langle {\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\left(\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\right)}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

und daher

${}{\begin{aligned}\delta ^{\prime \prime }(t_{0})&=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\\&=-{\left(\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{2}'(t_{0})\\-\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\\&={\left(\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\right)}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}\\&=\gamma ^{\prime \prime }(t_{0}).\end{aligned}}$

$\Box$

Die folgende Aussage zeigt, dass man jeden gewünschten Krümmungsverlauf durch eine Kurve realisieren kann.

Lemma

Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}0\in I$ und

$\psi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

${}\gamma (t):=\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos \psi (s)\\\sin \psi (s)\end{pmatrix}}ds\,$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}\gamma (0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,.$

2. Es ist

   ${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}\cos \psi (t)\\\sin \psi (t)\end{pmatrix}}\,.$

3. $I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte ebene Kurve.

4. Es ist

   ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)=\psi '(t){\begin{pmatrix}-\sin \psi (t)\\\cos \psi (t)\end{pmatrix}}\,.$

5. Die Krümmung ist

   ${}\kappa (t)=\psi '(t)\,.$

Beweis

(1) ist klar. (2) ergibt sich direkt aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Damit sind auch (3) und (4) klar, wobei sich die Bogenparametrisierung aus ${}\cos ^{2}u+\sin ^{2}u=1$ ergibt. (5). Für die Krümmung ist

${}\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)=\psi '(t)\cos \psi (t)\cos \psi (t)+\psi '(t)\sin \psi (t)\sin \psi (t)=\psi '(t)\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.

Dann ist die Krümmung von ${}\gamma$ in ${}t$ gleich

${}\kappa (t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle =\pm \Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert \,,$

wobei

${}N(t)={\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t)\\\gamma _{1}'(t)\end{pmatrix}}\,$

ein Einheitsnormalenvektor in ${}\gamma (t)$ ist.

Beweis

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition

${}\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)\,.$

Aus

${}{\left(\gamma _{1}'(t)\right)}^{2}+{\left(\gamma _{2}'(t)\right)}^{2}=1\,$

folgt

${}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)+\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=0\,,$

daher steht ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ senkrecht auf ${}\gamma '(t)$ und ist linear abhängig zu ${}N(t)$. Somit ist

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle N(t)=\kappa (t)N(t)\,$

und somit ist

${}\Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert =\vert {\kappa (t)}\vert \,.$

$\Box$

In der vorstehenden Aussage ist das Vorzeichen positiv, wenn die Kurve positiv gekrümmt ist, andernfalls negativ. Entscheidend ist nicht die explizite Beschreibung des Einheitsnormalenfeldes, sondern ob der Tangentenvektor und der Einheitsnormalenvektor die Standardorientierung repräsentiert oder nicht.

Wir erwähnen noch die folgende Definition.

Definition

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit ${}\gamma '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in I$. Dann nennt man die Abbildung

$I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M(t),$

die ${}t$ auf den Mittelpunkt des Krümmungskreises zu ${}\gamma$ in ${}t$ abbildet, die Evolute zu ${}\gamma$.

Krümmung von Kurven allgemein

Wir besprechen die Krümmung von ebenen Kurven, die nicht notwendigerweise bogenparametrisiert sind und von implizit gegebenen ebenen Kurven. Zu einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve

$\alpha \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

mit ${}\alpha '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in I$ und einem fixierten Punkt ${}a\in I$ ist

${}\ell (t)=\int _{a}^{t}\Vert {\alpha '(x)}\Vert dx\,$

nach Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Bogenlänge von ${}\alpha$ zwischen ${}a$ und ${}t$. Die Zuordnung

$\ell \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \ell (t),$

ist dabei streng wachsend und stetig differenzierbar. Es sei ${}J$ das Bildintervall, ${}\beta \colon J\rightarrow I$ die Umkehrfunktion zu ${}\ell$ und ${}\gamma (u)=\alpha (\beta (u))$. Dann ist unter Verwendung von Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

${}{\begin{aligned}\gamma '(u)&=(\alpha (\beta (u)))'\\&=\alpha '(\beta (u))\beta '(u)\\&=\alpha '(\beta (u)){\frac {1}{\ell '(\beta (u))}}\\&=\alpha '(\beta (u)){\frac {1}{\Vert {\alpha '(\beta (u))}\Vert }},\end{aligned}}$

was bedeutet, dass ${}\gamma$ bogenparametrisiert ist. Den Übergang von ${}\alpha$ zu ${}\gamma$ nennt man Bogenparametrisierung, dabei wird die Bildkurve nicht geändert, nur die Geschwindigkeit, mit der sie durchlaufen wird. Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}I&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\\\beta \uparrow &\nearrow \gamma \!\!\!\!\!&\\J&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor.

Lemma

Es sei ${}\alpha \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve mit ${}\alpha '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in I$. Es sei

${}N(t):={\frac {\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}{\Vert {\alpha '(t)}\Vert }}\,.$

Dann ist die Krümmung der zugehörigen bogenparametrisierten Kurve gleich

${}\kappa (t)={\frac {\left\langle \alpha ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}={\frac {\alpha _{1}'(t)\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)-\alpha _{2}'(t)\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)}{{\left(\alpha _{1}'(t)^{2}+\alpha _{2}'(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\,.$

Beweis

Wegen

${}{\begin{aligned}{\frac {\left\langle \alpha ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}&={\frac {\left\langle \alpha ^{\prime \prime }(t),{\frac {1}{\Vert {\alpha '(t)}\Vert }}{\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}\\&={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)\\\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert \cdot \Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}\\&={\frac {\alpha _{1}'(t)\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)-\alpha _{2}'(t)\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)}{{\left(\alpha _{1}'(t)^{2}+\alpha _{2}'(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\end{aligned}}$

stimmen die beiden Terme überein. Es sei

${}\alpha (t)=\gamma (\beta (t))\,$

mit einer Umparametrisierung ${}\beta$ und der bogenparametrisierten Kurve ${}\gamma$. Dann ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\alpha _{1}'(t)\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)-\alpha _{2}'(t)\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)}{{\left(\alpha _{1}'(t)^{2}+\alpha _{2}'(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\\&={\frac {\gamma _{1}'(\beta (t))\beta '(t){\left(\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}-\gamma _{2}'(\beta (t))\beta '(t){\left(\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{1}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}}{{\left(\gamma _{1}'(\beta (t))^{2}\beta '(t)^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))^{2}\beta '(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\\&={\frac {\gamma _{1}'(\beta (t)){\left(\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}-\gamma _{2}'(\beta (t)){\left(\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{1}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}}{\beta '(t)^{2}{\left(\gamma _{1}'(\beta (t))^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))^{2}\right)}^{3/2}}}\\&={\frac {\gamma _{1}'(\beta (t))\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}-\gamma _{2}'(\beta (t))\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}}{\beta '(t)^{2}}}\\&=\gamma _{1}'(\beta (t))\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))-\gamma _{2}'(\beta (t))\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\\&=\kappa (\beta (t)).\,\end{aligned}}$

$\Box$

Im Fall einer implizit gegebenen Kurve ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einem Punkt ${}P\in Y$ schreiben wir auch ${}\kappa (P)$ statt ${}\kappa (t)$, wenn eine Bogenparametrisierung der Kurve mit ${}\gamma (t)=P$ vorliegt.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$N\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U$ definiertes Einheitsnormalenfeld zu ${}Y$ und sei ${}P\in Y$.

Dann ist für jeden tangentialen Vektor ${}v\in T_{P}Y$

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}=-\kappa (P)v\,,$

wobei ${}\kappa (P)$ die Krümmung einer Bogenparametrisierung von ${}Y$ ist, die mit der durch ${}v,N(P)$ gegebenen Orientierung übereinstimmt.

Beweis

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine Bogenparametrisierung der Kurve ${}Y$ in einer Umgebung von ${}P$ mit ${}\gamma (0)=P$, die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential

$\left(DN\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor ${}\gamma '(0)$ zu zeigen. Nach der Kettenregel ist

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=(N\circ \gamma )'(0)\,.$

Dieser Vektor ist ein Vielfaches von ${}\gamma '(0)$ und daher ist dies gleich

$\left\langle (N\circ \gamma )'(0),\gamma '(0)\right\rangle \gamma '(0).$

Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist

${}\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma '(t)\right\rangle =0\,$

für alle ${}t\in I$ und daher

${}\left\langle (N\circ \gamma )'(t),\gamma '(t)\right\rangle +\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)\right\rangle =0\,.$

Also ist

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=-\left\langle (N\circ \gamma )(0),\gamma ^{\prime \prime }(0)\right\rangle \gamma '(0)=-\kappa (\gamma (0))\gamma '(0)\,$

nach Lemma 3.8.

$\Box$

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