Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 16/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und seien - Strukturen. Zeige folgende Aussagen.
- Die Identität
ist ein Isomorphismus.
- Zu einem Isomorphismus
ist die Umkehrabbildung
ein Isomorphismus.
- Es seien
und
Homomorphismen (Isomorphismen). Dann ist auch die Hintereinanderschaltung ein Homomorphismus (Isomorphismus).
Zeige, dass die Begriffe Gruppenhomomorphismus, Ringhomomorphismus, monotone Abbildung zwischen geordneten Mengen und lineare Abbildung unter den abstrakten Homomorphiebegriff (über welchem erststufigen Symbolalphabet ?) fallen.
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, das keine Relationssymbole enthalte. Zeige, dass ein bijektiver - Homomorphismus zwischen zwei - Strukturen bereits ein - Isomorphismus ist.
Es sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von , versehen mit der Inklusion als Ordnung, und es sei das rechtsseitig offene reelle Einheitsintervall mit der Kleinergleich-Relation als Ordnung. Zeige, dass die Abbildung
eine bijektive, ordnungstreue Abbildung ist, deren Umkehrabbildung nicht ordnungstreu ist.
Warum beschränkt man sich auf unendliche Teilmengen? Wie sehen die „transportierten Ordnungen“ aus?
Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe. Definiere eine -„Unterstruktur“ in einer - Struktur .
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, und seien - Strukturen und
ein Homomorphismus. Es sei eine Variablenbelegung in und die nach übertragene Variablenbelegung. Es seien und die zugehörigen Interpretationen. Zeige, dass
für alle - Terme gilt.
Unter einem Automorphismus einer -Struktur versteht man einen Isomorphismus von nach . Man spricht von der -Automorphismengruppe von , geschrieben .
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und sei eine - Struktur. Zeige, dass die Menge der -Automorphismen auf eine Gruppe bildet.
Es sei und sei versehen mit der natürlichen - Interpretation. Bestimme die - Automorphismengruppe von .
In einer Wohngemeinschaft wohnen Albert, Beowulf, Clara, Dora, Emil und Gundula. Dabei können Albert und Beowulf kochen, die anderen vier nicht. Emil findet Beowulf doof, Dora findet Albert und Clara doof, Clara und Gundula finden beide ebenfalls den Albert doof. Charakterisiere jede Person durch einen sprachlichen Ausdruck, in dem nur auf die Kochfähigkeit und das Dooffinden Bezug genommen wird.
In einer Wohngemeinschaft leben die Personen . Wir betrachten die folgenden Relationen:
- bedeutet, dass und manchmal miteinander Tennis spielen,
- bedeutet, dass und manchmal miteinander Skat spielen,
- bedeutet, dass und manchmal miteinander Doppelkopf spielen.
In der WG gilt
- Charakterisiere umgangssprachlich die Person allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Spielrelationen.
- Charakterisiere umgangssprachlich die Person allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Spielrelationen.
- Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen und den Relationssymbolen die Person .
- Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen und den Relationssymbolen die Person .
- Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen und den Relationssymbolen die Person .
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und eine - Struktur. Zeige, dass die elementare Äquivalenz von Elementen eine Äquivalenzrelation auf ist.
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Zeige, dass je zwei Elemente elementar äquivalent sind.
Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der zyklischen Gruppe zum Symbolalphabet .
Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der Gruppe zum Symbolalphabet .
Es seien die Symbolalphabete , , und gegeben, die wir auf natürlich interpretieren. Bestimme zu diesen Symbolalphabeten jeweils die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz.
Es sei das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes ein einstelliges Relationssymbol enthält. Wir betrachten die Menge , wobei wir das Relationssymbol durch
interpretieren. Es sei ein Ausdruck in einer freien Variablen , wobei in die Relationssymbole vorkommen mögen. Es sei das kleinste gemeinsame Vielfache von . Zeige, dass
genau dann gilt, wenn
gilt.
Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht und es sei
Zeige, dass eine vierelementige - Struktur, die erfüllt, äquivalent zur Gewinnstruktur in einer Vorgruppe bei einer Fußballweltmeisterschaft ist.
(Bemerkung: Eine zweistellige Relation wird oft durch ein Pfeildiagramm veranschaulicht.)
Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht und es sei
die - Struktur, bei der als gewinnt gegen (bei der Fußballweltmeisterschaft 2014) interpretiert wird. Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz, charakterisierende Ausdrücke und die Automorphismengruppe.
Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht. Wir betrachten Modelle, die aus einer vierelementigen Menge mit einer zweistelligen (Gewinn)-relation bestehen und die die Aussage erfüllen. Zeige, dass zwei verschiedene Elemente zueinander elementar äquivalent sein können, obwohl gilt ( und spielen also nicht unentschieden).
Ein Turnier werde im KO-System mit Mannschaften ausgetragen, jedes Spiel endet also mit einem Gewinner und einem Verlierer und der Verlierer scheidet direkt aus (es gebe kein Spiel um Platz drei oder ähnliches). Das Turnier sei vorbei. Zeige, dass man jede Mannschaft in der Prädikatenlogik allein mit der Gewinnrelation adressieren kann (je zwei Mannschaften sind also nicht elementar äquivalent).
Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe und eine - Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse gebe es einen -Ausdruck in einer freien Variablen , der die Klasse beschreibt. Zeige, dass für jedes -stellige Funktionssymbol aus die elementare Äquivalenz folgt.
![{\displaystyle {}[m]\subseteq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56bbef4f091f2e9d13c7abeefc26cf0da95752d)
![{\displaystyle {}\alpha _{[m]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371bf9d81fba3ae2fbea7d4f483577bec4bd5590)
![{\displaystyle {}[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de3179473671fbbf47b5fef5c16498371620072)
Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe und eine - Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse gebe es einen -Ausdruck in einer freien Variablen , der die Klasse beschreibt. Zeige, dass für ein -stelliges Funktionssymbol aus nicht die Gleichheit folgen muss.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien widerspruchsfreie Ausdrucksmengen, die unter Ableitungen abgeschlossen seien, und seien bzw. die gemäß der Konstruktion zugehörigen Modelle. Zeige, dass es einen - Homomorphismus
gibt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht und es sei
die - Struktur, bei der als gewinnt gegen (bei der Fußballweltmeisterschaft 2014) interpretiert wird. Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz, charakterisierende Ausdrücke und die Automorphismengruppe.
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Klassifiziere (bis auf Isomorphie) die möglichen Gewinnstrukturen bei einer Vierergruppe (wie bei einer Fußballweltmeisterschaft).
(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.)
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und seien - isomorphe - Strukturen. Zeige, dass die zugehörigen Automorphismengruppen und isomorph sind.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der zyklischen Gruppe zum Symbolalphabet .
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