Kurs:Elementare Algebra/19/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	3	3	2	8	2	4	3	4	2	6	3	4	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
2. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
4. Die eulersche Funktion ${}\varphi (n)$ zu ${}n\in \mathbb {N}$.
5. Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
6. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

   ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

   definiert.

2. Das Element ${}p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
3. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

4. Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
5. Unter der Dimension eines Vektorraums ${}V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von ${}V$.
6. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

   ${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

   einen Zerfällungskörper von ${}F$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
2. Die Formel für die Eulersche Funktion ${}{\varphi (p^{r})}$ für eine Primzahlpotenz.
3. Der Satz über den algebraischen Abschluss von ${}K$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Lösung

1. Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

   $\varphi \colon G\longrightarrow H$

   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

   ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

2. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}p^{r}$ eine Potenz davon. Dann ist

   ${}{\varphi (p^{r})}=p^{r-1}(p-1)\,.$

3. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$. Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}(M,*)$ und ${}(N,\circ )$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

${}\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.$

Die Verknüpfung auf ${}M$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf ${}N$ assoziativ ist.

Lösung

Es seien ${}r,s,t$ Elemente in ${}N$. Wegen der Surjektivität gibt es Elemente ${}x,y,z\in M$ mit ${}\varphi (x)=r$, ${}\varphi (y)=s$, ${}\varphi (z)=t$. Somit ist unter Verwendung der Assoziativität von ${}*$ und der Verträglichkeit

${}{\begin{aligned}r\circ (s\circ t)&=\varphi (x)\circ (\varphi (y)\circ \varphi (z))\\&=\varphi (x)\circ \varphi (y*z)\\&=\varphi (x*(y*z))\\&=\varphi ((x*y)*z)\\&=\varphi (x*y)\circ \varphi (z)\\&=(\varphi (x)\circ \varphi (y))\circ \varphi (z)\\&=(r\circ s)\circ t.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Fakt *****  (1)

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise, dass der Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ selbst kein Körper ist.

Lösung

In einem Körper besitzt jedes Element ${}\neq 0$ ein multiplikatives Inverses. Dies ist beim Polynomring nicht der Fall, beispielsweise besitzt die Variable ${}X$ kein Inverses, da das Produkt von ${}X$ mit jedem Polynom ${}P\neq 0$ einen Grad ${}\geq 1$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Lösung

Mit dem Ansatz

${}f=aX^{2}+bX+c\,$

gelangen wir zum linearen Gleichungssystem

${}a+b+c=10\,,$

${}4a-2b+c=1\,,$

${}9a+3b+c=16\,.$

Die Gleichungen ${}II-I$ und ${}III-I$ sind

${}3a-3b=-9\,$

und

${}8a+2b=6\,.$

Daraus ergibt sich (${}2II'+3III'$)

${}30a=0\,,$

also

${}a=0\,.$

Daraus ergibt sich

${}b=3\,$

und

${}c=7\,.$

Es ist also

${}f=3X+7\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche ${}g\in G$. Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

${}20=a\cdot b\,$

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser ${}20$ Körperteile in ${}a$ Teilmengen mit je ${}b$ Elemente an.

Lösung

${}20=20\cdot 1\,.$

Hier nimmt man die 20 Einzelfinger bzw. Einzelzehen als einelementige Mengen.

${}20=10\cdot 2\,.$

Die natürlichste Zerlegung in ${}10$ zweielementige Teilmengen (Paare) ist wohl die in zwei Zehen, zwei Zeigefinger, zwei Mittelfinger, zwei Ringfinger, zwei kleine Finger und entsprechend die Zehenpaare der Füße.

${}20=5\cdot 4\,.$

Die natürlichste Zerlegung dieser ${}20$ Körperteile in ${}5$ Teilmengen mit je ${}4$ Elemente ist wohl die, bei der die Daumen zusammen mit den großen Zehen, die Zeigefinger und die Zeigezehen, die Mittelfinger und die Mittelzehen, die Ringfinger und die Ringzehen, sowie die kleinen Finger und kleinen Zehen eine Teilmenge bilden.

${}20=4\cdot 5\,.$

Hier nimmt man die einzelnen Hände (also die Finger, die dran hängen) bzw. Füße als Teilmengen.

${}20=2\cdot 10\,.$

Hier nimmt man einerseits alle Finger und andererseits alle Zehen als Teilmengen (man könnte auch die linke und die rechte Hälfte nehmen).

${}20=1\cdot 20\,.$

Die Gesamtmenge aller Finger und Zehen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.

$(0,0),\,(7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0).$

Aufgabe (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen ${}a,b$.

Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn ${}a\neq b$ ist, so ersetzte das Paar ${}(a,b)$ durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn ${}a=b$ ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis ${}a$ ausgegeben.

1. Führe diesen Algorithmus für das Paar ${}(7,3)$ durch.
2. Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
3. Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
4. Man gebe für jedes ${}n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante ${}n$ Schritte benötigt.

Lösung

1. Der Algorithmus ersetzt sukzessive

   $(7,3)\mapsto (4,3)\mapsto (3,1)\mapsto (2,1)\mapsto (1,1),$

   der größte gemeinsame Teiler ist also ${}1$.

2. Wenn ${}a=b$ ist, so hört der Algorithmus auf. Wenn genau eine Zahl ${}0$ ist, so ist das Folgepaar ${}(c,c)$ und dann hört der Algorithmus auf. Es sei also ohne Einschränkung

   ${}a>b>0\,.$

   Das Folgepaar ist dann ${}(a-b,b)$ und beide Zahlen sind kleiner als ${}a$. D.h. unter dieser Voraussetzung wird das Maximum mit jedem Rechenschritt kleiner. Da sich alles innerhalb der natürlichen Zahlen abspielt, bricht das Verfahren irgendwann ab.

3. Bei ${}a=b$ ist diese Zahl auch der größte gemeinsame Teiler. Wir zeigen, dass sich bei jedem Rekursionsschritt, bei dem ${}(a,b)$ (es sei wieder $a\geq b$) durch ${}(a-b,b)$ ersetzt wird, der größte gemeinsame Teiler der beiden Paare übereinstimmt. Dazu muss man nur zeigen, dass ${}a$ und ${}b$ einerseits und ${}a-b$ und ${}b$ andererseits die gleichen gemeinsamen Teiler haben. Es sei also ${}t\in \mathbb {N}$ und ${}a=tm$ und ${}b=tn$. Dann ist

   ${}a-b=mt-nt=(m-n)t\,$

   ebenfalls ein Vielfaches von ${}t$. Wenn umgekehrt ${}a-b=rt$ und ${}b=st$ ist, so ist

   ${}a=a-b+b=rt+st=(r+s)t\,$

   ebenfalls ein Vielfaches von ${}t$.

4. Wir betrachten das Paar ${}(n,1)$. Der euklidische Algorithmus liefert

   ${}n=n\cdot 1+0\,$

   und ist fertig. Die Variante ersetzt ${}(n,1)$ durch ${}(n-1,1)$, sie braucht also ${}n-1$ Schritte, um die Abbruchbedingung ${}(1,1)$ zu erreichen.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}10!$.

Lösung

Es ist

${}10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=2\cdot 5\cdot 3^{2}\cdot 2^{3}\cdot 7\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 2^{2}\cdot 3\cdot 2=2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7\,.$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

1. Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?$

Lösung

1. Es ist

   $a_{1}=1,\,a_{2}=2,\,a_{3}=6,\,a_{4}=12,\,a_{5}=60,\,a_{6}=60,\,a_{7}=420,\,a_{8}=840,\,a_{9}=2520.$

2. Genau dann ist

   ${}a_{n+1}>a_{n}\,,$

   wenn ${}n$ eine Primzahlpotenz ${}p^{k}$, ${}k\geq 1$, (${}p$ Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von drei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist ${}20,21,22$, die Antwort ist also ${}19$.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Lösung

Für jede ganze Zahl ${}k$ ist generell

${}(x-17)(x-k)=x^{2}-(k+17)x+17k\,.$

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit ${}p=-(k+17)$ und ${}q=17k$. Wenn man darin ${}x$ gleich ${}17$ setzt, ergibt sich ${}0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Z}$ gefunden, die ${}17$ als Lösung besitzen. Wenn man

${}k=17\,$

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

${}(x-17)(x-17)=x^{2}-34x+289=0\,.$

Für diese ist nur ${}17$ eine Lösung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im ${}n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob ${}n$ eine Primzahl ist.

Lösung

Die Zahl ${}n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis ${}n$ keine ${}0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich ${}n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung

${}n=a\cdot b\,$

mit ${}a,b<n$. Die Ziffern ${}a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt ${}ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung ${}10$ und somit taucht als Endziffer die ${}0$ auf.

Wenn umgekehrt die ${}0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern ${}1\leq i,j<n$ derart gibt, dass ${}ij$ ein Vielfaches von ${}n$ ist. Es ist also

${}ij=cn\,.$

Wenn ${}n$ prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid ${}n$ einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als ${}n$ sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}4x^{2}+3x+7$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}y^{3}+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}4{\left(y^{3}+5\right)}^{2}+3{\left(y^{3}+5\right)}+7&=4{\left(y^{6}+10y^{3}+25\right)}+3y^{3}+15+7\\&=4y^{6}+43y^{3}+122.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Lösung

1. Es ist

   ${}P(2)=8-4-10+6=0\,,$

   somit ist ${}2$ eine Nullstelle von ${}P$.

2. Mit einer Division mit Rest ergibt sich

   ${}X^{3}-X^{2}-5X+6=(X-2)(X^{2}+X-3)\,.$

   Es geht also noch um die Nullstellen von ${}X^{2}+X-3$. Diese sind

   ${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {1+12}}-1}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {13}}-1}{2}}\,.$

3. Es ist

   ${}P=(X-2){\left(X-{\frac {{\sqrt {13}}-1}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {{\sqrt {13}}+1}{2}}\right)}\,.$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}p\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(2)$ und ${}q\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(5)$ die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(2)$ bzw. ${}\mathbb {Z} /(5)$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(5),\,x\longmapsto (p(x),q(x)).$

1. Berechne ${}\varphi (113)$.
2. Finde ein Urbild von ${}({\overline {1}},{\overline {0}})$ und eines von ${}({\overline {0}},{\overline {1}})$.
3. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (113)=({\overline {1}},{\overline {3}})\,.$

2. Es ist

   ${}\varphi (5)=({\overline {1}},{\overline {0}})\,$

   und

   ${}\varphi (6)=({\overline {0}},{\overline {1}})\,.$

3. Die Bilder von ${}0,1,2,\ldots ,9$ sind der Reihe nach

   $({\overline {0}},{\overline {0}}),\,({\overline {1}},{\overline {1}}),\,({\overline {0}},{\overline {2}}),\,({\overline {1}},{\overline {3}}),\,({\overline {0}},{\overline {4}}),\,({\overline {1}},{\overline {0}}),\,({\overline {0}},{\overline {1}}),\,({\overline {1}},{\overline {2}}),\,({\overline {0}},{\overline {3}}),\,({\overline {1}},{\overline {4}}),$

   damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst.

Aufgabe (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei durch

${\left\{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

eine Gerade ${}G$ gegeben. In der ${}x-y$-Ebene ${}E$ sei ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden ${}G$ mit der Ebene ${}E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ${}K$?

Lösung

Die ${}x-y$-Ebene wird durch die Gleichung ${}z=0$ beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung

${}5+4t=0\,,$

also

${}t=-{\frac {5}{4}}\,.$

Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}-{\frac {5}{4}}{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2-{\frac {5}{4}}\\4+{\frac {15}{4}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\{\frac {31}{4}}\\0\end{pmatrix}}\,.$

Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus

${}{\left({\frac {3}{4}}\right)}^{2}+{\left({\frac {31}{4}}\right)}^{2}={\frac {9+961}{16}}={\frac {970}{16}}\,.$

Wegen

${}970<1024=16\cdot 64\,$

ist dies kleiner als ${}64=8^{2}$, der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.