Kurs:Elementare Algebra/20/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	3	2	2	2	3	3	3	4	5	9	4	4	0	58

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe ${}G$.
2. Ein gemeinsamer Teiler von Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Die Summe der Ideale ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
6. Eine konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Lösung

1. Eine Gruppe ${}G$ ist ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
2. Ein Element ${}t\in R$ heißt gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt.
3. Man nennt

   ${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

   die Summe der Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$.

4. Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

   ${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

   mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

5. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
6. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\cong E$ heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge

   $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$

   mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Satz über die Menge der konstruierbaren Zahlen.

Lösung

1. Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

   ist.
2. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

   ${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

3. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.

Lösung

Es sei ${}G$ die zyklische Gruppe und ${}g\in G$ ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente ${}x,y\in G$ als ${}x=g^{n}$ und ${}y=g^{m}$ mit ${}n,m\in \mathbb {Z}$ darstellen. Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze

${}xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m}g^{n}=yx\,,$

also ist die Gruppe kommutativ.

Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Lösung Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für eine komplexe Zahl ${}z$ die folgenden Beziehungen gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.

Lösung

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.

1. Ist klar.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}$

3. Es ist

   ${}{\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Lösung

Es seien

${}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$

und

${}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

mit ${}a_{n},b_{m}\neq 0$, also ${}n=\operatorname {grad} \,(P)$ und ${}m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei ${}m\neq n$ ist ${}\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei ${}m=n$ ist bei ${}a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${}0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Fakt ***** ist ${}a_{n}b_{m}\neq 0$ und somit ist ${}a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${}PQ$, dessen Grad somit gleich ${}n+m$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${}3$ ist, die kein Vielfaches der ${}3$ ist und die keine Primzahl ist.

Lösung

Da es keine Primzahl sein soll, muss sie mindestens zwei (eventuell identische) Primfaktoren haben. Die Primfaktoren ${}2,5$ sind ausgeschlossen, da die letzte Ziffer ${}3$ sein muss, und nach Aufgabenstellung ist auch der Faktor ${}3$ ausgeschlossen. Das erste relevante Vielfache von ${}7$ ist

${}7\cdot 19=133\,.$

Ferner besitzt ${}11\cdot 11=121$ keine ${}3$ als letzte Ziffer und alle weiteren zusammengesetzen Zahlen ohne ${}2,3,5,7$ als Faktor sind größer, also ist ${}133$ die Antwort.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Lösung

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

${}1071=1\cdot 1029+42\,,$

${}1029=24\cdot 42+21\,,$

${}42=2\cdot 21+0\,.$

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es seien ${}a,m,n$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq 1$.

1. Bestimme ${}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})$.
2. Bestimme ${}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})$.

Lösung

Es sei

${}n\geq m\,.$

Dann ist

${}a^{n}=a^{m+n-m}=a^{m}\cdot a^{n-m}\,$

und somit ist ${}a^{m}$ ein Teiler von ${}a^{n}$. In einem solchen Fall ist der Teiler der größte gemeinsame Teiler und das Vielfache das kleinste gemeinsame Vielfache. Also ist

${}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})=a^{m}\,$

und

${}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})=a^{n}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Lösung

Es sei ${}n$ das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur ${}2,3,5,7$ in Frage. Jede Zahl ${}i\leq 9$ wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von ${}i$ in der ${}18$-ten Potenz auf. Somit ergibt sich

${}{\begin{aligned}n&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 4^{18}\cdot 5^{18}\cdot 6^{18}\cdot 7^{18}\cdot 8^{18}\cdot 9^{18}\\&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 2^{36}\cdot 5^{18}\cdot 2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 7^{18}\cdot 2^{54}\cdot 3^{36}\\&=2^{126}\cdot 3^{72}\cdot 5^{18}\cdot 7^{18}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl

$n(n+1)(n+2)(n+3)$

durch ${}8$ teilbar ist.

Lösung

Bei ${}n$ gerade ist

${}n=2k\,$

mit einem ${}k\in \mathbb {N}$ und daher

${}n+2=2k+2=2(k+1)\,.$

Das angegebene Produkt hat also die Form

${}n(n+1)(n+2)(n+3)=2\cdot k\cdot 2(k+1)(n+1)(n+3)=4k(k+1)(n+1)(n+3)\,.$

Bei ${}k$ gerade ist ${}4k$ durch ${}8$ teilbar und damit ist auch das Gesamtprodukt durch ${}8$ teilbar, bei ${}k$ ungerade ist ${}k+1$ gerade und man kann entsprechend schließen.

Bei ${}n$ ungerade ist ${}n+1$ gerade und daher

${}n+1=2k\,$

mit einem ${}k\in \mathbb {N}$. In diesem Fall ist

${}n+3=n+1+2=2k+2=2(k+1)\,$

und man kann entsprechend schließen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}93=1\cdot 55+38\,,$

${}55=1\cdot 38+17\,,$

${}38=2\cdot 17+4\,,$

${}17=4\cdot 4+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=17-4\cdot 4\\&=17-4\cdot (38-2\cdot 17)\\&=9\cdot 17-4\cdot 38\\&=9\cdot {\left(55-38\right)}-4\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot {\left(93-55\right)}\\&=22\cdot 55-13\cdot 93.\end{aligned}}$

Daher ist

$22$

das inverse Element zu ${}55$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe und es seien ${}\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form ${}(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)$ zum Bild von ${}\varphi$ gehören. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Lösung

Die aufgelisteten Elemente seien mit ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ bezeichnet, es seien ${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in R$ Elemente mit

${}\varphi (g_{i})=e_{i}\,.$

Dies bedeutet

${}\varphi _{j}(g_{i})={\begin{cases}1{\text{ für }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Ein beliebiges Element ${}s\in S$ im Produktring kann man als ${}s=(s_{1},\ldots ,s_{n})$ mit ${}s_{i}\in S_{i}$ schreiben. Aufgrund der Surjektivität der einzelen Ringhomomorphismen gibt es Elemente ${}f_{i}\in R$ mit

${}\varphi _{i}(f_{i})=s_{i}\,.$

Wir behaupten, dass ${}f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}$ unter ${}\varphi$ auf ${}s$ abbildet. Dies stimmt, da wir in der ${}j$-ten Komponente

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi {\left(f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}\right)}\right)}_{j}&=\varphi _{j}{\left(f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}\right)}\\&=\varphi _{j}{\left(f_{1}\right)}\varphi _{j}{\left(g_{1}\right)}+\cdots +\varphi _{j}{\left(f_{n}\right)}\varphi _{j}{\left(g_{n}\right)}\\&=\varphi _{i}(f_{i})\\&=s_{i}\end{aligned}}$

haben.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$ und ${}x+18$ Primzahlen sind?

Lösung

1. Die Zahlen ${}5,11,17,23,29$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+6,x+12,x+18,x+24$ bei Division durch ${}5$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die anderen Reste gleich ${}r+1,r+2,r+3,r+4$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}5$ sein. Da ${}x=5$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
3. Die Zahlen ${}41,47,53,59$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.

Aufgabe (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

a) Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Lösung

a) Das Nullelement ergibt sich für ${}a=b=0$, wegen

${}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,$

ist ${}G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

${}-(a+bu)=-a-bu\,$

gehören auch die Negativen dazu.

b) Nehmen wir

${}G=\mathbb {Z} v\,$

mit einem ${}v\in \mathbb {R}$ an. Dann ist einerseits

${}v=a_{0}+b_{0}u\,$

mit gewissen ${}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z}$ und andererseits

${}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,$

mit einem ${}r\in \mathbb {Z}$, ${}r\neq 0$. Daraus folgt

${}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,$

Aus der Irrationalität von ${}u$ ergibt sich

${}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,$

also

${}r=b_{0}=\pm 1\,.$

Dann ist

${}v=\pm u\,,$

also

${}G=\mathbb {Z} u\,.$

Dann wäre

${}1=cu\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {Z}$ was wegen der Irrationalität von ${}u$ nicht möglich ist.

c) Nehmen wir an, es sei ${}w>0$ das minimale positive Element aus ${}G$. Wir behaupten, dass dann

${}G=\mathbb {Z} w\,$

wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

${}g=a+bv>0\,$

positiv (bei ${}g$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

${}g\geq w\,.$

Wir betrachten ${}g-w,g-2w,g-3w,\ldots$ bis wir zu einem ${}g-kw$ mit

${}0\leq g-kw<w\,$

angelangen. Wegen ${}g-kw\in G$ muss

${}0=g-kw\,$

sein, also ${}g\in \mathbb {Z} w$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}&={\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\\&=-{\frac {4}{25}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}+{\left(-{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{5}}\right)}\cdot 2+{\frac {1}{20}}\cdot 2^{\frac {4}{3}}\\&=-{\frac {4}{25}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {14}{5}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-48-25+840}{300}}+{\frac {84+2+3}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {15-175-12}{150}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {767}{300}}+{\frac {89}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}-{\frac {86}{75}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist ${}{\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}$. Somit besitzt die Geradengleichung die Form

${}3x+5y=c\,.$

Einsetzen eines Punkt ergibt ${}c=2$. Somit ist

${}y={\frac {2-3x}{5}}\,.$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\left({\frac {2-3x}{5}}\right)}^{2}=1\,$

oder

${}x^{2}+{\frac {4-12x+9x^{2}}{25}}-1={\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {12}{25}}x-{\frac {21}{25}}=0\,.$

Die Normierung davon ist

$x^{2}-{\frac {6}{17}}x-{\frac {21}{34}}.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {21}{34}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+{\frac {42}{17}}}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}+714}}}{34}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {750}}}{34}}\\&={\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}y_{1,2}&={\frac {2-3x_{1,2}}{5}}\\&={\frac {2-3{\left({\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\right)}}{5}}\\&={\frac {68-3{\left(6\pm 5{\sqrt {30}}\right)}}{170}}\\&={\frac {50\mp 15{\sqrt {30}}}{170}}\\&={\frac {10\mp 3{\sqrt {30}}}{34}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

$\left({\frac {6+5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10-3{\sqrt {30}}}{34}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left({\frac {6-5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10+3{\sqrt {30}}}{34}}\right).$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung