Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 13

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Ringhomomorphismen

Definition  

Seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Ein Ringisomorphismus eines Ringes auf sich selbst heißt Ringautomorphismus. Wenn und Körper sind, so spricht man manchmal auch von einem Körperhomomorphismus statt von einem Ringhomomorphismus. Dieser hat aber keine zusätzlichen Eigenschaften.

Die konstante Abbildung in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also , nur bei ein Ringhomomorphismus.



Lemma

Es seien Ringe.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
  2. Sind und Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
  3. Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 13.3.




Satz  

Sei ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

Beweis  

Ein Ringhomomorphismus muss die auf die abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 10.7 genau einen Gruppenhomomorphismus

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass . ist, wobei hier die Multiplikation in bezeichnet. Dies folgt aber aus dem allgemeinen Distributivgesetz.


Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von nach .


Definition  

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.

Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.



Lemma  

Sei ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.

Beweis  

Die Charakteristik sei  und es sei angenommen, dass keine Primzahl ist, also eine Zerlegung mit kleineren Zahlen besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist in und ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.3 ist , so dass, weil ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von .



Lemma

Seien und Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Es sei eine Einheit.

Dann ist auch eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

Beweis

Das ist trivial.




Der Einsetzungshomomorphismus



Satz  

Sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein weiterer kommutativer Ring und es sei ein Ringhomomorphismus und ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom auf .

Beweis  

Bei einem Ringhomomorphismus

mit . müssen die Konstanten auf und auf gehen. Daher muss auf gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.


Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus.



Korollar  

Sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom auf .

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.7.




Korollar  

Sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei , wobei eine Einheit in sei.

Dann gibt es einen Ringisomorphismus

Beweis  

Die Einsetzungshomomorphismen zu und definieren aufgrund von Satz 13.7 jeweils einen Ringhomomorphismus und von nach , die wir hintereinander schalten:

Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus unverändert, und die Variable wird insgesamt auf

geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Satz 13.7 die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, so dass ein Isomorphismus vorliegt.




Ideale unter einem Ringhomomorphismus

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.



Satz  

Seien und kommutative Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

ein Ideal in .

Beweis  

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.



Korollar  

Es sei ein Körper und ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist injektiv.

Beweis  

Es genügt nach Lemma 10.13 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ist. Nach Satz 13.10 ist der Kern ein Ideal. Da die auf geht, ist der Kern nicht ganz . Da es nach Lemma 7.5 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.


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