Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 13
- Ringhomomorphismen
Es seien und Ringe. Eine Abbildung
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
- .
- .
- .
Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Ein Ringisomorphismus eines Ringes auf sich selbst heißt Ringautomorphismus. Wenn und Körper sind, so spricht man manchmal auch von einem Körperhomomorphismus statt von einem Ringhomomorphismus. Dieser hat aber keine zusätzlichen Eigenschaften.
Die konstante Abbildung in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also , nur bei ein Ringhomomorphismus.
Es seien Ringe.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
- Sind
und
Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung
ein Ringhomomorphismus.
- Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.
Beweis
Ein Ringhomomorphismus muss die auf die abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 10.7 genau einen Gruppenhomomorphismus
Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass . ist, wobei hier die Multiplikation in bezeichnet. Dies folgt aber aus dem allgemeinen Distributivgesetz.
Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus
(oder den charakteristischen Ringhomomorphismus)
von nach .
Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.
Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.
Es sei ein Integritätsbereich.
Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.
Die Charakteristik sei und es sei angenommen, dass keine Primzahl ist, also eine Zerlegung mit kleineren Zahlen besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist in und ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.3 ist , sodass, weil ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von .
Es seien und Ringe und sei
ein Ringhomomorphismus. Es sei eine Einheit.
Dann ist auch eine Einheit.
Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus
Beweis
- Der Einsetzungshomomorphismus
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein weiterer kommutativer Ring und es sei ein Ringhomomorphismus und ein Element.
![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
![{\displaystyle \psi \colon R[X]\longrightarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bfb6092c8fa6672c981fe4722bc3cba934dadd)
mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.
![{\displaystyle {}i\colon R\rightarrow R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2306672ce377b5530751cd12004c7dbef7257c)
Dabei geht das Polynom auf .
Bei einem Ringhomomorphismus
mit . müssen die Konstanten auf und auf gehen. Daher muss auf gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.
Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus.
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
![{\displaystyle \psi \colon R[X]\longrightarrow R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ac97c477387ae9bfbeeff7463c0e3e45383f21)
mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom auf .
Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.7.
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei , wobei eine Einheit in sei.
Dann gibt es einen Ringisomorphismus
![{\displaystyle R[X]\longrightarrow R[X],\,X\longmapsto aX+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af45c7cbca8575984a2a3a0e32dde333a277be75)
Die Einsetzungshomomorphismen zu und definieren aufgrund von Satz 13.7 jeweils einen Ringhomomorphismus und von nach , die wir hintereinander schalten:
![{\displaystyle R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d265f78839c962fc4e3d87e207836c84d4c0fa60)
Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus unverändert, und die Variable wird insgesamt auf
geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Satz 13.7 die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.
- Ideale unter einem Ringhomomorphismus
Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.
Es sei
Wegen . ist . Es seien . Das bedeutet und . Dann ist
und daher .
Es sei nun und beliebig. Dann ist
also ist .
Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das
Kernkriterium
für die
Injektivität.
Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.
Es sei ein Körper und ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann ist injektiv.
Es genügt nach Lemma 10.13 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ist. Nach Satz 13.10 ist der Kern ein Ideal. Da die auf geht, ist der Kern nicht ganz . Da es nach Lemma 7.5 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.
