Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 11

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Nebenklassen

Definition  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .

Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus folgt sofort und aus und folgt .


Definition  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge

die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

Rechtsnebenklasse (zu ).

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen

genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von . Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.



Lemma  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Es seien zwei Elemente.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .

Beweis  

Die Äquivalenz von und (und die von und ) folgt aus Multiplikation mit bzw. mit . Die Äquivalenz von und folgt durch Übergang zum Inversen. Aus folgt wegen . Wenn erfüllt ist, so bedeutet das mit gewissen . Damit ist und ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition 11.1 äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).


Beispiel  

Zu bzw. zur Untergruppe gibt es die Nebenklassen

Die Nebenklasse besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch den Rest ergeben.



Beispiel  

Wir betrachten die Einheitengruppe von , also .

Zur Untergruppe sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie durch Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl auseinander hervorgehen. Die Nebenklassen sind also die Halbstrahlen, die vom Nullpunkt ausgehen.

Zur Untergruppe sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie den gleichen Betrag besitzen, also durch eine Drehung ineinander überführbar sind. Die Nebenklassen sind also die Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt.




Der Satz von Lagrange




Satz  

Sei eine endliche Gruppe und eine Untergruppe von .

Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von .

Beweis  

Betrachte die Linksnebenklassen für sämtliche . Es ist

eine Bijektion zwischen und , so dass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von , so dass ein Vielfaches von sein muss.




Korollar  

Sei eine endliche Gruppe und sei ein Element.

Dann teilt die Ordnung von die Gruppenordnung.

Beweis  

Sei die von erzeugte Untergruppe. Nach Lemma 1.9 ist

Daher teilt diese Zahl nach Satz 11.6 die Gruppenordnung von .



Definition  

Zu einer Untergruppe heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von in , geschrieben

In der vorstehenden Definition ist Anzahl im allgemeinen als die Mächtigkeit einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem der Fall sein, wie schon die Beispiele , , zeigen. Wenn eine endliche Gruppe ist und eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache Indexformel



Normalteiler

Definition  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn

für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.

Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von Nebenklassen. Statt oder schreiben wir meistens . Die Gleichheit bedeutet nicht, dass für alle ist, sondern lediglich, dass es zu jedem ein mit . gibt.



Lemma  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Normalteiler
  2. Es ist für alle und .
  3. ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von .

Beweis  

(1) bedeutet bei gegebenem , dass man mit einem schreiben kann. Durch Multiplikation mit von rechts ergibt sich , also . Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation . Ferner ist eine explizite Umformulierung von .



Beispiel  

Wir betrachten die Permutationsgruppe zu einer dreielementigen Menge, d.h. besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge in sich. Die triviale Gruppe und die ganze Gruppe sind Normalteiler. Die Teilmenge , wobei die Elemente und vertauscht und unverändert lässt, ist eine Untergruppe. Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei die Bijektion, die fest lässt und und vertauscht. Dieses ist zu sich selbst invers. Die Konjugation ist dann die Abbildung, die auf , auf und auf schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu .




Lemma  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern ein Normalteiler in .

Beweis  

Wir verwenden Lemma 11.10. Sei also beliebig und . Dann ist

also gehört ebenfalls zum Kern.


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