Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 1

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${𝔽}_3[X]$ alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad $4$.

Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb{Z}[x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^5+3x^2{y}^2-xy{z}^3\text{ und }2x^{3}yz+z^2+5x{y}^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb{Z}/(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^4+2x^2{y}^2-x{y}^3+2y^3\text{ und }{x}^{4}y+4x^{2}y+3x{y}^2-x^2{y}^2+2y^2.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R[X]$ integer ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass die Einheiten von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

Aufgabe

Skizziere im ${ℝ}^2$ die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen.

1. $x^2-y^2-1=0$,
2. $x^2+xy+y^2=0$,
3. $x^2+y^2+1=0$,
4. $x^2+y^2=0$,
5. $x^2+y^3=0$,
6. $x^3-y^5=0$,
7. $x^2-x^3=0$,
8. $x^3+y^3=1$,
9. $x^4+y^4=1$,
10. $-5+3x+4x^2+x^3-y^2=1$.

Aufgabe

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.6 mit den folgenden Geraden.

1. $x=0$,
2. $y=0$,
3. $x=1$,
4. $y=-2$,
5. $x=y$,
6. $x=-y$,
7. $2x-3y+4=0$.

Aufgabe *

1. Finde eine ganzzahlige Lösung  $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$  für die Gleichung

   $x^2-y^3+2=0.$

2. Zeige, dass

   $(\frac{383}{1000},\frac{129}{100})$

   eine Lösung für die Gleichung

   $x^2-y^3+2=0$

   ist.

Aufgabe *

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

$V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3)\subset {ℂ}^2$

einen Punkt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Das Bild der durch

$K⟶K^2,t⟼(t^2,t^3),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt  $(x,y)\in K^2$  genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung  $x^3=y^2$  erfüllt.

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {ℝ}^2$  das Bild unter der polynomialen Abbildung

$ℝ⟶{ℝ}^2,t⟼(t^3-1,t^2-1).$

Bestimme ein Polynom  $F\ne 0$  in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$ℝ⟶{ℝ}^2,t⟼(t^2-1,t^3-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte $(x,y)$ der Kurve die Gleichung

$y^2=x^2+x^3$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt  $(x,y)\in {ℝ}^2$  mit  $y^2=x^2+x^3$  zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte $t_1$ und $t_2$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe

Betrachte Gleichungen der Form

$y^2=G(x)\text{ mit }G(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

über $ℝ$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten  $a,b,c\in \{1,-1,0\}$. 

Aufgabe

Es sei  $K=\mathbb{Z}/(7)$.  Bestimme alle Punkte in  $K^2=K\times K$,  die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung

$X^{2}Y+2Y^3+3Y^2=0$

gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

$x^2+y^2=1$

für die Körper  $K=\mathbb{Z}/(2)$,  $\mathbb{Z}/(5)$ und $\mathbb{Z}/(11)$.

Aufgabe *

Finde eine Gerade  $G\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$,  die die Kurve

$C=V(X^3+Y^3+1)\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$

in genau einem Punkt schneidet.

Aufgabe *

Zeige, dass die Neilsche Parabel

$C=V(Y^2-X^3)\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$

jede Gerade durch den Punkt  $P=(1,1)\in C$  in mindestens einem weiteren Punkt trifft.

Aufgabe *

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises $V(x^2+y^2-1)$ mit der Neilschen Parabel $V(y^2-x^3)$ gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\le 0,1$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei

$K⟶K^2,t⟼(P(t),Q(t)),$

eine durch zwei Polynome  $P(t),Q(t)\in K[t]$  gegebene Abbildung. Es sei $B$ das Bild dieser Abbildung und es sei  $G\subseteq K^2$  eine Gerade. Zeige, dass  $B\subseteq G$  ist oder dass der Durchschnitt $B\cap G$ endlich ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

1. $K$ ist algebraisch abgeschlossen.
2. Jedes nicht-konstante Polynom  $F\in K[X]$  zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in $K[X]$ die irreduziblen Polynome.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {ℂ}^2$  das Bild unter der polynomialen Abbildung

$ℂ⟶{ℂ}^2,t⟼(t^3-t^2+4t+3,-t^2+5t-1).$

Bestimme ein Polynom  $F\ne 0$  in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$f:ℝ⟶S^1\subseteq {ℝ}^2,$

die einem Punkt  $t\in ℝ$  den eindeutigen Schnittpunkt $\ne (0,-1)$ der durch die beiden Punkte $(t,1)$ und $(0,-1)$ gegebenen Geraden $G_t$ mit dem Einheitskreis

$S^1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2=1\}$

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$ differenzierbar ist. Ist $f$ injektiv, ist $f$ surjektiv?

Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V(x^2+y^2-2)\text{ und }V(x^2+2y^2-1)$

über dem Körper $\mathbb{Z}/(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper  $K\supseteq \mathbb{Z}/(7)$,  über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_1,\dots ,X_n]$ der Polynomring in $n$ Variablen und sei ${𝔸}_K^n$ der zugehörige affine Raum. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist  $V(0)={𝔸}_K^n$,  d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
2. Es ist  $V(1)=\mathrm{\varnothing }$,  d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
3. Es seien $V_1,\dots ,V_k$ affin-algebraische Mengen mit  $V_i=V({𝔞}_i)$.  Dann gilt

   $V_1\cup V_2\cup \dots \cup V_k=V({𝔞}_1\cdot {𝔞}_2\cdots {𝔞}_k).$

   Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

4. Es seien $V_i$, $i\in I$, affin-algebraische Mengen mit  $V_i=V({𝔞}_i)$.  Dann gilt

   $\bigcap _{i\in I}{V}_i=V\left(\sum _{i\in I}{𝔞}_i\right).$

   Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

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