Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 1

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Aufgaben

Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring integer ist.


Aufgabe *

Es sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe

Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .


Aufgabe

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.6 mit den folgenden Geraden.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .


Aufgabe *

  1. Finde eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
  2. Zeige, dass

    eine Lösung für die Gleichung

    ist.


Aufgabe *

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

einen Punkt.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Das Bild der durch

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.


Aufgabe

Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung

Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.


Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.


Aufgabe

Betrachte Gleichungen der Form

über . Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten .


Aufgabe

Sei . Bestimme alle Punkte in , die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung

gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für die Körper , und .


Aufgabe *

Finde eine Gerade , die die Kurve

in genau einem Punkt schneidet.


Aufgabe *

Zeige, dass die Neilsche Parabel

jede Gerade durch den Punkt in mindestens einem weiteren Punkt trifft.


Aufgabe *

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Neilschen Parabel gibt und bestimme numerisch die reelle -Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler .


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei

eine durch zwei Polynome gegebene Abbildung. Es sei das Bild dieser Abbildung und es sei eine Gerade. Zeige, dass ist oder dass der Durchschnitt endlich ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

  1. ist algebraisch abgeschlossen.
  2. Jedes nicht-konstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in die irreduziblen Polynome.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


Aufgabe

Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung

Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Punkt den eindeutigen Schnittpunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Geraden mit dem Einheitskreis

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass differenzierbar ist. Ist injektiv, ist surjektiv?


Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

über dem Körper . Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper , über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, der Polynomring in Variablen und sei der zugehörige affine Raum. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
  2. Es ist , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
  3. Es seien affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt

    Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

  4. Es seien , , affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt
    Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.


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