Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 1

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

Aufgabe

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} [x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring ${}R[X]$ integer ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe

Skizziere im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

1. ${}x^{2}-y^{2}-1=0$,
2. ${}x^{2}+xy+y^{2}=0$,
3. ${}x^{2}+y^{2}+1=0$,
4. ${}x^{2}+y^{2}=0$,
5. ${}x^{2}+y^{3}=0$,
6. ${}x^{3}-y^{5}=0$,
7. ${}x^{2}-x^{3}=0$,
8. ${}x^{3}+y^{3}=1$,
9. ${}x^{4}+y^{4}=1$,
10. ${}-5+3x+4x^{2}+x^{3}-y^{2}=1$.

Aufgabe

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.6 mit den folgenden Geraden.

1. ${}x=0$,
2. ${}y=0$,
3. ${}x=1$,
4. ${}y=-2$,
5. ${}x=y$,
6. ${}x=-y$,
7. ${}2x-3y+4=0$.

Aufgabe *

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe *

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

${}V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

einen Punkt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Das Bild der durch

$K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y)\in K^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-1,\,t^{2}-1\right).$

Bestimme ein Polynom ${}F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass ${}C$ auf dem Nullstellengebilde zu ${}F$ liegt.

Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe

Betrachte Gleichungen der Form

$y^{2}=G(x){\text{ mit }}G(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

über ${}\mathbb {R}$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten ${}a,b,c\in \{1,-1,0\}$.

Aufgabe

Sei ${}K=\mathbb {Z} /(7)$. Bestimme alle Punkte in ${}K^{2}=K\times K$, die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung

${}X^{2}Y+2Y^{3}+3Y^{2}=0\,$

gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe *

Finde eine Gerade ${}G\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$, die die Kurve

${}C=V(X^{3}+Y^{3}+1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

in genau einem Punkt schneidet.

Aufgabe *

Zeige, dass die Neilsche Parabel

${}C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

jede Gerade durch den Punkt ${}P=(1,1)\in C$ in mindestens einem weiteren Punkt trifft.

Aufgabe *

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Neilschen Parabel ${}V(y^{2}-x^{3})$ gibt und bestimme numerisch die reelle ${}x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler ${}\leq 0,1$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto (P(t),Q(t)),$

eine durch zwei Polynome ${}P(t),Q(t)\in K[t]$ gegebene Abbildung. Es sei ${}B$ das Bild dieser Abbildung und es sei ${}G\subseteq K^{2}$ eine Gerade. Zeige, dass ${}B\subseteq G$ ist oder dass der Durchschnitt ${}B\cap G$ endlich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

1. ${}K$ ist algebraisch abgeschlossen.
2. Jedes nicht-konstante Polynom ${}F\in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in ${}K[X]$ die irreduziblen Polynome.

Aufgabe

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-t^{2}+4t+3,\,-t^{2}+5t-1\right).$

Bestimme ein Polynom ${}F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass ${}C$ auf dem Nullstellengebilde zu ${}F$ liegt.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},$

die einem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ den eindeutigen Schnittpunkt ${}\neq (0,-1)$ der durch die beiden Punkte ${}(t,1)$ und ${}(0,-1)$ gegebenen Geraden ${}G_{t}$ mit dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass ${}f$ differenzierbar ist. Ist ${}f$ injektiv, ist ${}f$ surjektiv?

Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V(x^{2}+y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V(x^{2}+2y^{2}-1)$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper ${}K\supseteq \mathbb {Z} /(7)$, über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über ${}K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
2. Es ist ${}V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
3. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

   Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

4. Es seien ${}V_{i}$, ${}i\in I$, affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

   Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

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