Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 2

Aufgaben

Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}F\in K[X]$ und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn ${}F'(a)=0$ ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$. Bestimme die Menge der Polynome ${}F\in K[T]$ mit formaler Ableitung ${}F'=0$.

Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem beliebigen Körper ${}K$, also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Zeige, dass für die partiellen Ableitungen die Produktregel

${}\partial _{i}(FG)=F\partial _{i}(G)+G\partial _{i}(F)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}G_{1},\ldots ,G_{k}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$ Polynome. Wir setzen

${}H_{i}=G_{i}(F_{1},\ldots ,F_{m})\,.$

Zeige, dass die formalen partiellen Ableitungen die „formale Kettenregel“

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial H_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial H_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial H_{k}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial H_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{1}}{\partial Y_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial G_{1}}{\partial Y_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial G_{k}}{\partial Y_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial G_{k}}{\partial Y_{m}}}\end{pmatrix}}{\left({\frac {F_{j}}{Y_{j}}}\right)}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$

erfüllen, wobei der Ausdruck ${}{\frac {F_{j}}{Y_{j}}}$ bedeutet, dass die Variablen ${}Y_{j}$ durch die Polynome ${}F_{j}$ zu ersetzen sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p\geq 0$. Man charakterisiere die Polynome ${}F\in K[X,Y]$ mit der Eigenschaft, dass

1. die erste partielle Ableitung,
2. die zweite partielle Ableitung,
3. beide partiellen Ableitungen

${}0$ sind.

Die beiden folgenden Aufgaben beziehen sich auf homogene Polynome. Dieses Konzept werden wir in der dritten Vorlesung erläutern.

Aufgabe

Es sei ${}H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad ${}e$. Zeige die Beziehung

${}eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$

Aufgabe *

1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ ein direkter Summand von kommutativen Ringen. Es sei ${}I\subseteq R$ ein Ideal und ${}f\in R$. Zeige, dass aus ${}f\in IS$ die Zugehörigkeit ${}f\in I$ folgt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms ${}F\in K[X]$ eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Es seien ${}F,G\in K[X]$ Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ${}F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve ${}C=V(F)$. Zeige, dass ${}C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe

Beweise Lemma 2.5.

Aufgabe *

Betrachte die beiden reellen Kurven

$V(X^{5}-X^{3}+2XY+7Y^{2}-9)$

im Punkt ${}(1,1)$ und

$V(X^{4}+Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+5X+7Y)$

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?

Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}.$

Einige der nächsten Aufgaben verwenden die beiden folgenden Definitionen.

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Dann heißt ${}m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$.

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Es sei ${}F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an ${}C$ im Punkt ${}P$.

Glattheit ist äquivalent zu Multiplizität ${}1$, eine große Multiplizität ist also ein Maß für eine Singularität. In diesem Fall gibt es mehrere Tangenten.

Aufgabe

Es sei ${}H(X)\in K[X]$, sei ${}F=Y-H$ und ${}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Graph von ${}H$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Es sei

${}P=(a,b)=(a,H(a))\,$

ein Punkt des Graphen.

1. Zeige, dass die Multiplizität von ${}C$ in ${}P$ gleich ${}1$ ist.
2. Zeige, dass die Tangente in ${}P$ an ${}C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt ${}a$ übereinstimmt.

Aufgabe

Betrachte die durch ${}y=2x^{4}+3x^{2}-x+1$ gegebene Kurve mit dem Punkt ${}P=(1,5)$. Finde eine Koordinatentransformation derart, dass ${}P$ zum Punkt ${}(0,0)$ wird und die Tangente an ${}P$ zur ${}x$-Achse.

Aufgabe

Bestimme für die Kurve ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY+1\right)}$ die singulären Punkte über ${}\mathbb {R}$ und über ${}{\mathbb {C} }$. Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}G,H\in K[X,Y]$ Polynome mit ${}G(P)=H(P)=0$ für einen bestimmten Punkt ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei ${}F=GH$. Zeige, dass jede Tangente von ${}G$ in ${}P$ und jede Tangente von ${}H$ in ${}P$ auch eine Tangente von ${}F$ in ${}P$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

${}C=V(x^{3}+5x^{2}y-6xy^{2}-x^{2}-xy+4y^{2})\,.$

1. Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
2. Zeige, dass ${}P=(1,2)$ ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von ${}C$ in ${}P$ über die Ableitung.
3. Führe eine Variablentransformation durch derart, dass ${}P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in ${}P$ aus der transformierten Kurvengleichung.

Aufgabe

Bestimme für die algebraische Kurve

${}C=V{\left(9y^{4}+10x^{2}y^{2}+x^{4}-12y^{3}-12x^{2}y+4y^{2}\right)}\,$

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}R$ hat genau ein maximales Ideal
2. Die Menge der Nichteinheiten ${}R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die lokal sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${}R$ an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

${}V=V(XY)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.$

Bestimme für jeden Punkt ${}P\in V$, ob der lokale Ring an ${}P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.

Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${}C$ an Punkten ${}P\neq (0,0)$ zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

${}C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und es sei ${}S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra. Es sei ${}S=R_{\mathfrak {m}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass der Restekörper von ${}S$ endlich über ${}K$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(S)$ und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$, wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}f\in K[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in K$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}K[X]_{(X-a)}$ von ${}K[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Ordnung

${}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${}R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?