Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 2

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Aufgaben

Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .


Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring über einem beliebigen Körper , also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass für die partiellen Ableitungen die Produktregel

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Polynome. Wir setzen

Zeige, dass die formalen partiellen Ableitungen die „formale Kettenregel“

erfüllen, wobei der Ausdruck bedeutet, dass die Variablen durch die Polynome zu ersetzen sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass

  1. die erste partielle Ableitung,
  2. die zweite partielle Ableitung,
  3. beide partiellen Ableitungen

sind.


Die beiden folgenden Aufgaben beziehen sich auf homogene Polynome. Dieses Konzept werden wir in der dritten Vorlesung erläutern.

Aufgabe

Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung


Aufgabe *

  1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
  2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.


Aufgabe

Es sei ein direkter Summand von kommutativen Ringen. Es sei ein Ideal und . Zeige, dass aus die Zugehörigkeit folgt.


Aufgabe

Es sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Es seien Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.


Cercle tangente rayon.svg

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve . Zeige, dass nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.


Aufgabe

Beweise Lemma 2.5.


Aufgabe *

Betrachte die beiden reellen Kurven

im Punkt und

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?


Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Einige der nächsten Aufgaben verwenden die beiden folgenden Definitionen.


Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

die homogene Zerlegung von mit und , . Dann heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt .


Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

die homogene Zerlegung von mit und , . Es sei die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade , eine Tangente an im Punkt .


Glattheit ist äquivalent zu Multiplizität , eine große Multiplizität ist also ein Maß für eine Singularität. In diesem Fall gibt es mehrere Tangenten.

Aufgabe

Es sei , sei und der Graph von , aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Es sei

ein Punkt des Graphen.

  1. Zeige, dass die Multiplizität von in gleich ist.
  2. Zeige, dass die Tangente in an mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt übereinstimmt.


Aufgabe

Betrachte die durch gegebene Kurve mit dem Punkt . Finde eine Koordinatentransformation derart, dass zum Punkt wird und die Tangente an zur -Achse.


Aufgabe

Bestimme für die Kurve die singulären Punkte über und über . Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit für einen bestimmten Punkt . Es sei . Zeige, dass jede Tangente von in und jede Tangente von in auch eine Tangente von in ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

  1. Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
  2. Zeige, dass ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von in über die Ableitung.
  3. Führe eine Variablentransformation durch derart, dass in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in aus der transformierten Kurvengleichung.


Aufgabe

Bestimme für die algebraische Kurve

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. hat genau ein maximales Ideal
  2. Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .


Aufgabe

Es sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.


Aufgabe *

Es sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.


Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

Bestimme für jeden Punkt , ob der lokale Ring an ein Integritätsbereich ist oder nicht.


Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an Punkten zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.


Aufgabe

Es sei die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

und es sei die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endlich erzeugte -Algebra. Es sei die Lokalisierung von an einem maximalen Ideal . Zeige, dass der Restekörper von endlich über ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.



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