- Modulfunktionen
Wir erinnern an die
Modulsubstitution,
also an die
Gruppenoperation
der
speziellen linearen Gruppe
auf der
oberen Halbebene
durch
-
Ein Punkt
legt das
Gitter
und damit den
komplexen Torus
bzw. die zugehörige
elliptische Kurve
fest. Wir interessieren uns für Funktionen
,
die mit der Gruppenoperation
(in einem gewissen Sinne)
verträglich sind. Wegen der angegebenen Bedeutung eines Punktes der oberen Halbebene sollte man solche Funktionen stets auch so interpretieren, dass sie komplexen Tori bzw. elliptischen Kurven einen Wert zuweisen.
Explizit bedeutet die Bedingung, dass
-
für alle
gilt. Ein direktes Korollar aus
Satz 9.2
ist die folgende Aussage.
Wir betrachten die komplexe Exponentialfunktion auf der oberen Halbebene in der Form
-
Das Bild dieser Abbildung ist die punktierte offene Einheitskreisscheibe . Mit
-
gilt ja
und wegen
ist
.
Es gilt die Periodizitätsbedingung
-
für
.
Wenn man den Wertebereich auf einschränkt, so erhält man eine holomorphe Überlagerung. Die Geraden parallel zur -Achse werden zu Kreisen aufgewickelt, wobei die Geraden nah an der Achse auf einen Kreis nah an der Einheitssphäre abgebildet werden und die fernen Geraden auf kleine Kreise um den Nullpunkt. Die Halbgeraden parallel zur -Achse werden auf eine offene Radiusstrecke abgebildet.
Wenn
eine Funktion ist, die die Periodizitätsbedingung
zu
erfüllt, so gibt es eine Faktorisierung von über die Exponentialabbildung
-
mit einer eindeutig bestimmten Funktion
-
Dabei ist genau dann holomorph oder meromorph, wenn holomorph oder meromorph auf der punktierten Kreisscheibe ist. Man bezeichnet in dieser Situation die Variable der komplexen Zahlen rechts oben oft mit und hat dann die Beziehung
,
.
Diesen Übergang kann man insbesondere für eine
schwache Modulfunktion
machen, für die es somit eine meromorphe Funktion
-
gibt, die wegen der Modularitätsbedingung noch weitere Bedingungen erfüllen muss. Dabei ist es für eine natürliche Frage, ob man sie in den Nullpunkt hinein sinnvoll meromorph oder holomorph fortsetzen kann.
In diesem Fall setzt man
.
Im Fall der meromorphen Fortsetzbarkeit von im Nullpunkt liegt dort eine
Laurent-Entwicklung
der Form
-
vor, wobei im holomorphen Fall
ist. Es ist dann
und die nennt man auch Fourierkoeffizienten von .
Es handelt sich also einfach um eine
schwache Modulfunktion,
die zusätzlich meromorph im Unendlichen ist.
Die -te
Eisenstein-Reihe
-
zu
ist eine
Modulform
vom Gewicht .
Die Funktionalgleichung folgt aus
wobei die vorletzte Gleichung darauf beruht, dass
-
stets eine eindeutige Lösung besitzt. Die Holomorphie beruht aus Sätzen der Funktionentheorie.
Wir erinnern an die Festlegungen aus der zwölften Vorlesung, geschrieben in der Variablen
,
,
,
die
Diskriminante
und die
-
Invariante
.
- Kongruenzuntergruppen
Wir möchten eine Reihe von Untergruppen der speziellen linearen Gruppe einführen, die durch gewisse modulare Bedingungen charakterisiert sind und Kongruenzuntergruppen heißen. Es sei eine natürliche Zahl fixiert. Zunächst induziert der
Ringhomomorphismus
einen
Gruppenhomomorphismus
-
bei dem einfach sämtliche Einträge modulo genommen werden. Da die Matrizenmultiplikation und die Determinante durch polynomiale Ausdrücke gegeben sind, folgt direkt, dass dies ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei
.
Die
Untergruppe
-
heißt
Hauptkongruenzgruppe
zur Stufe .
Es geht also einfach um die Matrizen, deren Diagonalelemente modulo zu und deren Nebendiagonalelemente modulo zu werden. Als Kern eines Gruppenhomomorphismus handelt es sich um eine Untergruppe und um einen
Normalteiler.
Da die Bildgruppe bei
endlich ist und die spezielle lineare Gruppe unendlich, ist unendlich. Beispielsweise ist
.
Wir interessieren uns nun für Untergruppen
-
wovon es bei gegebenem endlich viele gibt. Solche Untergruppen nennt man Kongruenzuntergruppen. Neben der Hauptkongruenzgruppe erwähnen wir die folgenden.
Es sei
.
Die
Untergruppe
-
heißt
Hecke-Kongruenzgruppe
zur Stufe .
Zu
setzt man
-
Es ist
-
Bei
ist beispielsweise
,
,
aber
,
,
aber
.
Ferner ist
.
- Kongruenzuntergruppen und Torsion
Eine reelle Basis von legt ein
Gitter
und einen
komplexen Torus
fest, siehe
Satz 8.6,
wobei der komplexe Torus nur vom Gitter, nicht aber von den Erzeugern abhängt. Wir besprechen eine Sichtweise, in der eine Teilinformation, die in den Erzeugern drinsteckt, beibehalten wird und die die Rolle der Kongruenzuntergruppen erläutert. Dazu fixieren wir eine positive natürliche Zahl . Die Erzeuger werden unter der kanonischen Abbildung auf das neutrale Element des Torus abgebildet. Die Punkte
und
werden unter der kanonischen Abbildung auf
-
Torsionspunkte
des komplexen Torus abgebildet. Wegen
Lemma 18.1
ist
und diese Elemente werden durch
, ,
repräsentiert. D.h. die Erzeuger definieren in kanonischer Weise eine
Basis
des
-
Moduls
. Wenn eine Primzahl ist, so handelt es sich um eine Basis eines zweidimensionalen Vektorraumes. In diesem Sinne liefert ein
(geordnetes)
Erzeugendensystem eines Gitters einen Datensatz bestehend aus einem komplexen Torus
(bzw. der zugehörigen elliptischen Kurve)
und einem
(geordneten)
Punktepaar , das ein Erzeugendensystem für die -Torsion ist. Nach
Korollar 8.5
definieren zwei reelle Basen das gleiche Gitter, wenn sie durch eine ganzzahlige invertierbare Matrix ineinander überführt werden können. Dabei wird aber nicht nur die Basis selbst, sondern im Allgemeinen auch die durch die Basis definierte -Torsionsbasis verändert. Da es aber nur endlich viele -Torsionsbasen gibt, gibt es wiederum eine Vielzahl an ganzzahligen invertierbaren Matrizen, die eine -Torsionsbasis in sich selbst überführen. Wir beschränken uns auf die spezielle lineare Gruppe, wo sich ein direkter Zusammenhang zu den
Hauptkongruenzgruppen
ergibt.
Es sei
-
Die transformierte Basis ist
und
.
In gelten dann die Beziehungen
-
und
-
Dies ist eine Identität im -Modul
-
daher können wir die Zahlen modulo nehmen. Die Gleichheit der Basen bedeutet dann einfach, dass modulo die Gleichheiten
und
vorliegen. Dies bedeutet
.
Zu einer Streckung mit
sind
und
verschiedene Gitter, es gibt aber nach
Lemma 9.11
einen kanonischen Isomorphismus
-
Eine Gitterbasis wird auf die Gitterbasis abgebildet und die zugehörige -Torsionsbasis des komplexen Torus wird auf die entsprechende Torsionsbasis abgebildet.
Zu
besteht der Datensatz aus dem komplexen Torus und der -Torsionsbasis . Für die Wirkungsweise der Hauptkongruenzgruppe auf durch Modulsubstitution gilt
Lemma 27.12
entsprechend. Man beachte, dass die Beziehung
nach
Lemma 9.6
bedeutet, dass
und
streckungsäquivalent
sind, nicht, dass sie gleich sind. Insbesondere dürfen die beiden nicht miteinander identifiziert werden.
Auch für die Wirkungsweise von und auf Gittern gibt es ähnliche Interpretationen, die auf Torsionseigenschaften des Torus Bezug nehmen, siehe
Aufgabe 27.16
und
Aufgabe 27.17.