Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 22/kontrolle

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Die Höhe unter Morphismen



Satz  Satz 22.1 ändern

Es sei

ein Morphismus, der durch teilerfremde Polynome gegeben ist. Es sei das Maximum der Grade der Polynome.

Dann gibt es eine positive Konstante derart, dass die absolute Höhe die Abschätzung

für jeden Punkt erfüllt.

Beweis  

In der homogenen Realisierung des Morphismus seien die teilerfremden homogenen Polynome vom Grad in den Variablen . Aufgrund der Teilerfremdheit erzeugen und in das maximale Ideal bis auf das Radikal, d.h. es gibt mit dem Hilbertschen Nullstellensatz ein und Polynome mit

und

Hierbei können wir direkt als homogen vom Grad annehmen. Ferner können wir durch eine endliche Körpererweiterung annehmen, dass alle Polynome über definiert sind.

Es sei ein Betrag, wobei wir im nichtarchimedischen Fall und im archimedischen Fall setzen. Es sei ein Punkt. Es gilt dann

und entsprechend für , was wir zu

zusammenfassen.

Wir setzen

Da die alle den Grad besitzen, kommt in ihnen eine bestimmte Anzahl, sagen wir an Monomen vor. Es gilt dann

Einsetzen der zweiten Abschätzung in die erste ergibt

Multiplikation mit der positiven Zahl ergibt die Abschätzungen

Es gibt nur endlich viele archimedische Beträge, für die nichtarchimedischen Beträge werden die Faktoren zu und bis auf endlich viele Beträge ist auch , da die Koeffizienten aller jeweils nur für endlich viele Beträge sind. Die Abschätzungen bleiben erhalten, wenn man die Potenzen zu den Exponenten nimmt und man kann dann das Produkt über alle Beträge nehmen. Schließlich geht man durch Wurzelziehen zur absoluten Höhe über.



Definition  Referenznummer erstellen

Zu nennt man

wobei die absolute Höhe von bezeichnet, die logarithmische Höhe von .

Für die logarithmische Höhe schreibt man also ein kleines . Die Werte von liegen in . Wegen der strengen Monotonie des natürlichen Logarithmus gilt Satz 20.10 entsprechend.



Die Höhenfunktion auf einer elliptischen Kurve

Es sei

eine über einem Zahlkörper definierte elliptische Kurve, gegeben durch eine kurze Weierstraßgleichung . Wir wollen auf den Punkten von eine Höhenfunktion definieren, die im Beweis des Satzes von Mordell-Weil helfen soll. Dazu muss sie gewisse Eigenschaften bezüglich der Addition erfüllen. Wir arbeiten (statt mit der durch die Einbettung gegebene Höhe) mit der Abbildung

Affin wird also ein Punkt einfach auf projiziert.



Lemma  Lemma 22.3 ändern

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper und sei ein fixierter Punkt aus .

Dann gibt es eine Konstante derart, dass für jeden Punkt die absolute Höhe die Abschätzung

erfüllt.

Beweis  

Wir können annehmen, dass die -Koordinate von gleich ist, die Gleichung habe die Form

(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass ist), es ist also . Es sei , dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von . Es geht darum, eine Höhenabschätzung für zu zeigen, wobei

ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern

siehe Aufgabe 6.20. Die Summanden im Bruch haben die Form und , es ist ja fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Lemma 21.8 jeweils durch eine Konstante mal nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also

und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form mit besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form . Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.


De folgende Satz besagt, dass bei einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper die über die -Projektion auf die projektive Gerade definierte logarithmische Höhe eine schwache Höhenfunktion ist.



Satz  Satz 22.4 ändern

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper mit einer Weierstraßgleichung

und zugehöriger Projektion . Dann erfüllt die zugehörige logarithmische Höhe die folgenden Eigenschaften.

  1. Zu jedem Punkt gibt es eine Konstante derart, dass für jeden Punkt die Abschätzung

    erfüllt ist.

  2. Es gibt eine Konstante derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Zu jeder Schranke ist

    endlich.

Beweis  

  1. Das ist die logarithmische Version von Lemma 22.3.
  2. Dies folgt über den Logarithmus aus Satz 22.1 und der expliziten Formel für die -Koordinate bei der Verdoppelung, siehe Korollar 6.7.
  3. Dies folgt aus Satz 21.10, da die Abbildung den Grad besitzt.



Der Satz von Mordell-Weil



Satz  Satz 22.5 ändern

Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper .

Dann ist endlich erzeugt.

Beweis  

Dies folgt mit Lemma 20.3 (für ) aus Satz 19.8 und aus Satz 22.4.


Der Satz bedeutet also, dass die Gruppe der -rationalen Punkte die Form

besitzt, wobei die endliche Torsionsuntergruppe und der endliche Rang der elliptischen Kurve ist. Es ist im Allgemeinen schwierig, zu einer gegebenen elliptischen Kurve die Gruppenstruktur und insbesondere den Rang zu bestimmen. Wir erwähnen einige Beispiele.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über die beiden Torsionspunkte . Daneben gibt es noch den Punkt , der den torsionsfreien Teil erzeugt. Die Gruppenstruktur ist

und ist ein Erzeuger der torsionsfreien Komponente.



Beispiel  Referenznummer erstellen

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über die beiden unabhängigen Punkte und . Hier ist

und die angegebenen Punkte sind Erzeuger, der Rang ist also .



Beispiel  Referenznummer erstellen

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über neben den -Torsionspunkten, die den Nullstellen des kubischen Polynoms in entsprechen (siehe Lemma 18.2 und Satz 25.7), die drei unabhängigen Punkte und . Hier ist

der Rang ist also .


Bemerkung   Referenznummer erstellen

Man vermutet, dass es keine allgemeine Schranke für den Rang einer elliptischen Kurve über gibt. Es ist aber schwierig, elliptische Kurven mit großen Rang anzugeben, der derzeitige Rekord liegt bei Rang .


Bemerkung   Referenznummer erstellen

Der Satz von Mordell-Weil gilt auch für abelsche Varietäten über einem Zahlkörper , d.h. auch in diesem Fall ist die Gruppe der -rationalen Punkte endlich erzeugt.

Auf der projektiven Geraden (Geschlecht ), die ja die Vereinigung der affinen Geraden mit dem unendlich fernen Punkt ist, gibt es, egal über welchem Zahlkörper man sich bewegt, stets einen rationalen Punkt mehr als im Körper. Hier gibt es also keine interessanten Fragen über die Existenz oder die Verteilung von rationalen Punkten. Bei Geschlecht , also den elliptischen Kurven, wird die Frage nach den rationalen Punkten grob durch den Satz von Mordell-Weil beantwortet, auch wenn die Frage nach dem Rang in jedem Einzelfall schwierig bleibt. Im Fall von höherem Geschlecht hat Mordell vermutet, dass es da stets zur endlich viele rationale Punkte gibt. Dies wurde um 1983 von Gerd Faltings bewiesen. Der Beweis geht weit über diese Vorlesung hinaus, er benutzt aber wesentlich abelsche Varietäten.


Satz Referenznummer erstellen

Es sei eine projektive glatte Kurve vom Geschlecht über einem Zahlkörper .

Dann ist die Menge der -rationalen Punkte endlich.

Dies kann man beispielsweise für jede glatte ebene Kurve vom Grad anwenden.