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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Es sei die Menge aller komplexen Reihen und die Menge aller komplexen Folgen. Zeige, dass die Zuordnungen

und

zueinander invers sind und eine Bijektion zwischen und festlegen. Zeige, dass sich dabei die Konvergenzbegriffe entsprechen und dass sich reelle Reihen und reelle Folgen entsprechen. Zeige ferner, dass sich im reellen Fall Reihen mit nichtnegativen Reihengliedern und wachsende Folgen entsprechen.



Es seien

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Die Reihe mit ist ebenfalls konvergent mit der Summe .
  2. Für ist auch die Reihe mit konvergent mit der Summe .



Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.



Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch die Reihenglieder

definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.



Es sei eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen. Zeige, dass dann

gilt.



Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.



Es sei eine komplexe Reihe unnd es gebe ein reelles , , mit

für alle . Zeige, dass dann die Reihe absolut konvergiert.



Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.



Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.



Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.



Zu Reihen und komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

  1. Zeige, dass jedes Produkt genau zu einem beiträgt.
  2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.



Es sei eine absolut konvergente komplexe Reihe. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.



Es sei , , eine summierbare Familie komplexer Zahlen und eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie , , summierbar ist.



Es sei , , eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile , , und die Familie der Imaginärteile , , summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall

gilt.



Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie , , sei summierbar. Zeige, dass , , summierbar ist.



Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie , , sei summierbar. Zeige, dass , , summierbar ist.

Tipp: Man zeige dieses Resultat zuerst für reelle Familien und ziehe dann Aufgabe 6.14 heran.

Für Familien, anders als wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.


Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

nach oben beschränkt ist.



Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form mit . Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.



Sei , . Zeige, dass die Familie

summierbar ist.



Sei , . Berechne zur summierbaren Familie

die Teilsummen

zu jedem und berechne .



Sei , . Zu sei

Berechne zu jedem zur summierbaren Familie

die Teilsummen

und berechne .



Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.



Wir betrachten die Familie

  1. Zeige, dass diese Familie nicht summierbar ist.
  2. Es sei . Ist die Teilfamilie

    summierbar?

  3. Es sei . Ist die Teilfamilie

    summierbar?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

absolut konvergiert.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion, aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie , , nicht summierbar ist.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine vorkommt. Zeige, dass

summierbar ist.



Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Indexmenge und , , eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

abzählbar ist.




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