Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 6 | 5 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
- Die Identität auf ist die Abbildung von nach , die jedes Element auf sich selbst abbildet.
- Das Produkt ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.
- Das Element heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
- Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer
Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
- Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
- Eine
Funktion
der Form
mit einem festen heißt lineare Funktion.
Aufgabe (3 Punkte)
- In einem
kommutativen Halbring
gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
- Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
, , mit
- Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper . Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge , , gegen .
Aufgabe (2 Punkte)
Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung
konstant zu sein.
Es gibt ein derart, dass für alle die Gleichheit
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Wir betrachten auf der Menge
die durch die Tabelle
gegebene Verknüpfung .
- Berechne
- Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
- Es ist
- Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Element in einem kommutativen Ring. Berechne mit maximal fünf Additionen.
Wir berechnen
Dann ist
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
Wir definieren
durch
Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf .
Lösung Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Menge und eine Ordnung auf . Zeige durch Induktion über die Aussage: Wenn für Elemente die Beziehung
und
gilt, dann sind alle gleich.
Der Induktionsanfang folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Es sei also die Aussage für ein gewisses schon bewiesen und es liegen Elemente mit den Abschätzungen
und
vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch
und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also
Wegen
und
stimmt auch mit diesem Element überein.
Aufgabe (2 Punkte)
Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen „Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet“, doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal (stellenweise) zu einem anderen Vokal (ohne Umlaute) und jeden Diphthong (für uns sind das au, ai und eu) zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
In dem Satz kommen zwei Diphthonge und zehn (einzelne) Vokale vor. Für die Diphthonge gibt es jeweils zwei Änderungsmöglichkeiten, für die Vokale jeweils vier. Insgesamt gibt es also
Möglichkeiten.
Aufgabe (4 Punkte)
Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien natürliche Zahlen mit
Es sei . Zeige, dass dann ist und dass
gilt.
Aus der Annahme
folgt mit (der echt größer Version von) Satz 10.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2) der Widerspruch
zur Voraussetzung. Wenn man zu der zu beweisenden Gleichheit
beidseitig addiert, so erhält man die wahre Gleichung
Wegen der Abziehregel muss dann auch die in Frage stehende Gleichung wahr sein.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien positive natürliche Zahlen. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Ferner sei ein Teiler von . Zeige, dass dann ein Teiler von ist, und dass die Beziehung
gilt.
Aufgrund der Voraussetzungen können wir
und
mit natürlichen Zahlen schreiben. Aufgrund der ersten und der dritten Zeile ist
Somit ist
Also ist ein Vielfaches von . Für den Quotienten gilt
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit
und mit
gibt.
Aufgrund der Division mit Rest in gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen und mit
mit
Bei
ist die Existenz bewiesen. Bei
setzt man
Es ist dann
und
ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen
mit ergibt sich
mit
und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.
Aufgabe (3 Punkte)
Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und man gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.
Der euklidische Algorithmus liefert:
Die Zahlen und sind also teilerfremd und ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.
Nach Korollar 21.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (angewendet auf drei Zahlen) ist der größte gemeinsame Teiler gleich
und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich
Aufgabe (2 Punkte)
Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?
Er muss pro Tag ca.
Tafeln essen, in der Woche also
Tafeln.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit
gilt.
Die Subtraktion ist die Addition mit dem Negativen, und das Negative von ist . Also ist
wobei wir in den letzten beiden Schritten Vorzeichenregeln für ganze Zahlen verwendet haben.
Aufgabe (1 Punkt)
An der Tafel steht der Bruch
es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?
Es ist
unabhängig vom Stellenwertsystem, da hintere Nullen bedeuten, dass ein Vielfaches von vorliegt, wenn die Basis des Systems bezeichnet, und dies kann man kürzen.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.
Die Brüche seien
und
mit und mit . Wegen der Symmetrie können wir annehmen. Dann ist
wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.
Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)
In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.
- Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
- Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
- Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?
Die Gewichte der Äpfel seien
und die Bedingungen sind
und
- Wenn besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir
und
an. Dies führt auf
Division führt auf
also gerundet Gramm. 90 Prozent davon sind
Die anderen Äpfel der Packung wiegen also Gramm.
- Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht Gramm,
und
Dann ist
Division ergibt
und somit
Der leichteste Apfel hat also das Gewicht Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen Gramm.
- Es ist
der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist
Dies soll werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts wird. Dieser Ausdruck ist
Die Bedingung
wird zu
was jedenfalls bei
erfüllt ist. Man kann also beispielsweise
nehmen.