Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/17/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Punkte 3 3 1 2 2 2 4 0 2 5 1 3 2 3 3 3 0 1 2 3 5 3 53




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Die Differenz von natürlichen Zahlen mit .
  4. Der Binomialkoeffizient .
  5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
  6. Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  3. Die Differenz ist diejenige natürliche Zahl für die gilt.
  4. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  5. Zwischen den Größen und liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

    mit einer festen Zahl besteht.

  6. Es sei ein Dezimalbruch

    mit , , und gegeben, und es sei

    die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man

    die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von .
  2. Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe .
  3. Der Satz über das Monotonieverhalten linearer Funktionen.


Lösung

  1. Es seien ganze Zahlen. Dann ist

    wobei das [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|kleinste gemeinsame Vielfache]]

    der ist.
  2. Zu jedem ist das Element mit
    eindeutig bestimmt.
  3. Es sei ein angeordneter Körper, und

    die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Bei ist streng wachsend.
    2. Bei ist konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend
    3. Bei ist streng fallend.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f w
f w w
f f f


Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

  1. Der Mörder ist oder oder oder .
  2. Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
  3. sind alle verschieden.
  4. Es gibt genau einen Mörder.
  5. Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
  6. ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?


Lösung

Aus (6), (3) und (4) folgt, dass und beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch nicht der Mörder. Wegen (1) muss also der Mörder sein. ((2) wird nicht verwendet)


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Das bedeutet und . Dies wiederum bedeutet oder . Somit ist insgesamt .

Sei nun umgekehrt . Bei ist und und somit ist insbesondere . Ist hingegen , so ist bei die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall betrachten. In diesem Fall ist und somit ist ebenfalls .


Aufgabe (2 Punkte)

Mercedes Benz Atego 1624 container truck.JPG

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?


Lösung

  1. Leere Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
  2. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
  3. Volle Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
  4. Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
  5. Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
  6. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.

Es sind also sechs Ladevorgänge nötig.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
  2. Die Abbildung ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
  3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
  4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge , , einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein derart, dass schon ein Mensch ist, aber noch nicht. Für ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir zählen

  1. Was ist die Mama der Urururoma?
  2. Was ist die Uroma der Uroma?
  3. Was ist die Oma der Oma der Oma?
  4. Was ist das ich der Uroma der Ururoma?


Lösung

  1. Ururururoma.
  2. Ururururoma.
  3. Ururururoma.
  4. Urururururoma.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl , also

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ist, also


Lösung

Für gibt es nur den einen Summanden , so dass der Induktionsanfang gesichert ist. Sei die Aussage für ein bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten Zahlen


Aufgabe (1 Punkt)

Ersetze im Ausdruck

simultan die Buchstaben durch , durch , durch , durch , durch , durch , durch .


Lösung

Dier Ersetzung der Buchstaben in

führt auf


Aufgabe (3 Punkte)

Wir rechnen mit den Zahlen nach den folgenden Verknüpfungstabellen.

und


Zeige, dass es sich dabei um einen kommutativen Halbring handelt. Gilt für diesen die Abziehregel?


Lösung

Es sei die in Frage stehende Struktur mit der angegebenen Addition und Multiplikation. Die Abbildung

die auf , auf , auf und jede weitere Zahl auf abbildet, ist surjektiv und sie respektiert, wie eine direkte Durchsicht zeigt, die Addition und die Multiplikation. Somit übertragen sich die Gesetze eines kommutativen Halbringes von nach . Die Abziehregel gilt in nicht, da

ist, aber


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von bei Division durch .


Lösung

Die Reste bei Division von durch sind


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe einen Algorithmus, der zu einer beliebigen im Dezimalsystem gegebenen Zahl ihren Vorgänger im Dezimalsystem bestimmt.


Lösung

Die Zahl sei durch die Ziffernfolge im Dezimalsystem gegeben. Da ausgeschlossen ist, muss bei die Zahl zumindest zweistellig sein, also . Der Vorgänger zu dieser Zahl wird durch das folgende Verfahren bestimmt.

  1. Wenn ist, so ersetzt man die hinterste Ziffer durch ihren (einstelligen) Vorgänger. Dieser ist durch die Reihenfolge in der Liste bestimmt. Die anderen Ziffern werden übernommen.
  2. Wenn ist, so sei der Index durch die Eigenschaft charakterisiert, dass

    und ist. Da die Zahl nicht selbst ist, muss es ein solches geben. Der Vorgänger ergibt sich, wenn man an den hinteren Stellen die zusammenhängenden Nullen durch Neunen ersetzt, die Ziffer durch ihren einstelligen Vorgänger (gemäß Liste) ersetzt und die übrigen Ziffern beibehält.

Dieses Verfahren ist korrekt, da es den entsprechenden Nachfolgeralgorithmus invertiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch sorgt mal wieder für allgemeine Verwirrung. Je nach Tageslaune schreibt er

Welche Schreibweisen sind richtig, welche falsch? Was muss man bei den einzelnen Schreibweisen beachten?


Lösung Dezimalsystem/Ausmultiplizieren/Knopfloch/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?


Lösung

Heidi muss pro Tag mal Gramm Heidelbeeren essen, also Kilogramm. Wegen sind das Heidelbeeren pro Tag. Die Stunden haben Sekunden. Es ist . Sie muss also alle Sekunden eine Heidelbeere essen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt: „Das ist paradox. Einerseits ist doch , aber andererseits ist

und

die Reste bei der Division sind also verschieden“. Was ist davon zu halten?


Lösung Rationale Zahlen/Division mit Rest/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Lösung

Beispielsweise ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien zwei Dezimalbrüche der Form

und

mit gegeben. Dabei sei die Anzahl der Nullen nach dem Komma von gleich und von gleich . Wie viele Nullen nach dem Komma besitzt das Produkt , und wovon hängt das ab?


Lösung

Es ist

und

Somit ist

Wenn

so kann man daraus direkt die Zifferenentwicklung des Produktes ablesen, und dieses hat Nullen hinter dem Komma. Bei ist

eine zweistellige Zahl im Dezimalsystem (wegen kann das Produkt nocht höherstellig sein) und das Produkt besitzt Nullen hinter dem Komma.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung auf derart gegeben, dass ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte . Zeige, dass die übliche Multiplikation sein muss.


Lösung

Wir zeigen zuerst, dass das neutrale Element zur Verknüpfung ist. Für eine natürliche Zahl ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

Für negatives mit und ist

und daraus folgt

Für einen Bruch mit ist

und

Damit ist

da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

muss

sein (für ), da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert den Wert ergibt. Daher ist schließlich ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente aus . Zeige


Lösung

Es ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher ist.