Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/17/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	2	2	4	2	5	1	3	3	2	3	3	3	3	1	2	3	5	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$.
4. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
6. Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Die Differenz ${}a-b$ ist diejenige natürliche Zahl ${}c$ für die ${}a=b+c$ gilt.
4. Der Binomialkoeffizient ist durch

   ${}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

   definiert.

5. Zwischen den Größen ${}x$ und ${}y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

   ${}y=cx\,$

   mit einer festen Zahl ${}c$ besteht.

6. Es sei ein Dezimalbruch

   ${\frac {a}{10^{k}}}$

   mit ${}a=\pm b\in \mathbb {Z}$, ${}b\in \mathbb {N}$, und ${}k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei

   ${}b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$

   die Dezimaldarstellung von ${}b$. Dann nennt man

   $\pm b_{n}\cdots b_{k},b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$

   die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe ${}(G,\circ ,e)$.
3. Der Satz über das Monotonieverhalten linearer Funktionen.

Lösung

1. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann ist

   ${}\mathbb {Z} a_{1}\cap \mathbb {Z} a_{2}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} u\,,$

   wobei ${}u$ das kleinste gemeinsame Vielfache

   der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.
2. Zu jedem ${}x\in G$ ist das Element ${}y\in G$ mit

   ${}x\circ y=e\,$

   eindeutig bestimmt.
3. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}c\in K$ und

   $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

   die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Bei ${}c>0$ ist ${}f$ streng wachsend.
   2. Bei ${}c=0$ ist ${}f$ konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend
   3. Bei ${}c<0$ ist ${}f$ streng fallend.

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w w w f w f w w f f f

Lösung

$p\vee q.$

 

Aufgabe * (2 Punkte)

${}E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${}A$ oder ${}B$ oder ${}C$ oder ${}D$.
2. Wenn ${}C$ der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder oder ${}A$ ist der Mörder.
3. ${}A,B,C,D$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${}A$ nicht der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder.
6. ${}A$ ist genau dann der Mörder, wenn ${}B$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Lösung

Aus (6), (3) und (4) folgt, dass ${}A$ und ${}B$ beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch ${}D$ nicht der Mörder. Wegen (1) muss also ${}C$ der Mörder sein. ((2) wird nicht verwendet.)

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\setminus C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Lösung

Es sei ${}x\in A\setminus {\left(B\setminus C\right)}$. Das bedeutet ${}x\in A$ und ${}x\notin B\setminus C$. Dies wiederum bedeutet ${}x\notin B$ oder ${}x\in B\cap C$. Somit ist insgesamt ${}x\in {\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}$.

Es sei nun umgekehrt ${}x\in {\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}$. Bei ${}x\in {\left(A\setminus B\right)}$ ist ${}x\in A$ und ${}x\notin B$ und somit ist insbesondere ${}x\in A\setminus {\left(B\setminus C\right)}$. Ist hingegen ${}x\in A\cap C$, so ist bei ${}x\in A\setminus B$ die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall ${}x\in B$ betrachten. In diesem Fall ist ${}x\notin B\setminus C$ und somit ist ebenfalls ${}x\in A\setminus {\left(B\setminus C\right)}$.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Lösung

1. Leere Mulde auf dem Straßenplatz ${}A$ abladen.
2. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
3. Volle Mulde auf dem Straßenplatz ${}B$ abladen.
4. Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
5. Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
6. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.

Es sind also sechs Ladevorgänge nötig.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Lösung

Es seien ${}x,x'\in L$ mit

${}G(F(x))=G(F(x'))\,$

gegeben. Aufgrund der Injektivität von ${}G$ folgt

${}F(x)=F(x')\,$

und aufgrund der Injektivität von ${}F$ folgt

${}x=x'\,,$

was die Injektivität von ${}G\circ F$ bedeutet.

 

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Lösung

1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
2. Die Abbildung ${}\varphi ^{3}$ ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge ${}\varphi ^{n}(x)$, ${}n\in \mathbb {N}$, einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(x)$ schon ein Mensch ist, aber ${}\varphi ^{n+1}(x)$ noch nicht. Für ${}\varphi ^{n}(x)$ ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.

 

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir zählen

${\text{ ich}},\,{\text{ Mama}},\,{\text{ Oma}},\,{\text{Uroma}},\,{\text{Ururoma}},\ldots .$

1. Was ist die Mama der Urururoma?
2. Was ist die Uroma der Uroma?
3. Was ist die Oma der Oma der Oma?
4. Was ist die Ururoma der Uroma?

Lösung

1. Ururururoma.
2. Ururururoma.
3. Ururururoma.
4. Urururururoma.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl ${}n$, also

${}+$	${}1$	${}2$	${}3$	${}\ldots$	${}n-1$	${}n$
${}1$	${}1+1$	${}1+2$	${}1+3$	${}\ldots$	${}1+n-1$	${}1+n$
${}2$	${}2+1$	${}2+2$	${}2+3$	${}\ldots$	${}2+n-1$	${}2+n$
${}3$	${}3+1$	${}3+2$	${}3+3$	${}\ldots$	${}3+n-1$	${}3+n$
${}\ldots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$
${}n-1$	${}n-1+1$	${}n-1+2$	${}n-1+3$	${}\ldots$	${}n-1+n-1$	${}n-1+n$
${}n$	${}n+1$	${}n+2$	${}n+3$	${}\ldots$	${}n+n-1$	${}n+n$

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ${}(n+1)n^{2}$ ist, also

${}\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)=(n+1)n^{2}\,.$

Lösung

Für ${}n=1$ gibt es nur den einen Summanden ${}1+1$, sodass der Induktionsanfang gesichert ist. Es sei die Aussage für ein ${}n$ bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich ${}n+1$ sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten ${}n$ Zahlen

${}{\begin{aligned}\sum _{1\leq i\leq n+1,\,1\leq j\leq n+1}(i+j)&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)+\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+\sum _{1\leq i\leq n}(i+n+1)+(n+1)+(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+2\sum _{\,1\leq j\leq n}j+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+n(n+1)+2(n+1)\\&=(n+1)(n^{2}+2n+n+2)\\&=(n+1)(n+2)(n+1)\\&=(n+2)(n+1)^{2}.\,\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Ersetze im Ausdruck

${\text{XYZUWXYZVT}}$

simultan die Buchstaben ${}X$ durch ${}M$, ${}Y$ durch ${}A$, ${}Z$ durch ${}T$, ${}U$ durch ${}H$, ${}V$ durch ${}E$, ${}W$ durch ${}I$, ${}T$ durch ${}K$.

Lösung

Dier Ersetzung der Buchstaben in

${\text{XYZUWXYZVT}}$

führt auf

${\text{MATHIMATEK}}.$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir rechnen mit den Zahlen ${}0,1,2,{\text{viele}}\,\,(v)$ nach den folgenden Verknüpfungstabellen.

${}+$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}0$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}1$	${}1$	${}2$	${}v$	${}v$
${}2$	${}2$	${}v$	${}v$	${}v$
${}v$	${}v$	${}v$	${}v$	${}v$

und

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}2$	${}0$	${}2$	${}v$	${}v$
${}v$	${}0$	${}v$	${}v$	${}v$

Zeige, dass es sich dabei um einen kommutativen Halbring handelt. Gilt für diesen die Abziehregel?

Lösung

Es sei ${}H$ die in Frage stehende Struktur mit der angegebenen Addition und Multiplikation. Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow H,$

die ${}0$ auf ${}0$, ${}1$ auf ${}1$, ${}2$ auf ${}2$ und jede weitere Zahl auf ${}v$ abbildet, ist surjektiv und sie respektiert, wie eine direkte Durchsicht zeigt, die Addition und die Multiplikation. Somit übertragen sich die Gesetze eines kommutativen Halbringes von ${}\mathbb {N}$ nach ${}H$. Die Abziehregel gilt in ${}H$ nicht, da

${}1+v=v=2+v\,$

ist, aber

${}1\neq 2\,.$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über ${}n$.  Für ${}n=2$ liegt eine Primzahl vor. Bei ${}n\geq 3$ ist entweder ${}n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ${}n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung ${}n=ab$ mit kleineren Zahlen ${}a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für ${}n$ zusammen. 

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}10$ bei Division durch ${}1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Lösung

Die Reste ${}r$ bei Division von ${}10$ durch ${}d$ sind

${}d$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$
${}r$	${}0$	${}0$	${}1$	${}2$	${}0$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe einen Algorithmus, der zu einer beliebigen im Dezimalsystem gegebenen Zahl ${}n\geq 1$ ihren Vorgänger im Dezimalsystem bestimmt.

Lösung

Die Zahl sei durch die Ziffernfolge ${}a_{k}\ldots a_{1}a_{0}$ im Dezimalsystem gegeben. Da ${}0$ ausgeschlossen ist, muss bei ${}a_{0}=0$ die Zahl zumindest zweistellig sein, also ${}k\geq 1$. Der Vorgänger zu dieser Zahl wird durch das folgende Verfahren bestimmt.

1. Wenn ${}a_{0}\neq 0$ ist, so ersetzt man die hinterste Ziffer ${}a_{0}$ durch ihren (einstelligen) Vorgänger. Dieser ist durch die Reihenfolge in der Liste ${}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ bestimmt. Die anderen Ziffern werden übernommen.
2. Wenn ${}a_{0}=0$ ist, so sei der Index ${}s$ durch die Eigenschaft charakterisiert, dass

   ${}a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{s}=0\,$

   und ${}a_{s+1}\neq 0$ ist. Da die Zahl nicht selbst ${}0$ ist, muss es ein solches ${}s$ geben. Der Vorgänger ergibt sich, wenn man an den hinteren ${}s+1$ Stellen die zusammenhängenden Nullen durch Neunen ersetzt, die Ziffer ${}a_{s+1}$ durch ihren einstelligen Vorgänger (gemäß Liste) ersetzt und die übrigen Ziffern beibehält.

Dieses Verfahren ist korrekt, da es den entsprechenden Nachfolgeralgorithmus invertiert.

 

Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch sorgt mal wieder für allgemeine Verwirrung. Je nach Tageslaune schreibt er

1. ${}{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i+j=s}a_{i}b_{j}\right)}10^{s}\,,$

2. ${}{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}\,,$

3. ${}{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i={\max {\left(s-\ell ,0\right)}}}^{\min {\left(k,s\right)}}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}\,.$

Welche Schreibweisen sind richtig, welche falsch? Was muss man bei den einzelnen Schreibweisen beachten?

Lösung

Dezimalsystem/Ausmultiplizieren/Knopfloch/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei ${}2000$ kcal und ${}100$ Gramm Heidelbeeren enthalten ${}42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt ${}1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?

Lösung

Heidi muss pro Tag ${}2000:42\sim 47,6$ mal ${}100$ Gramm Heidelbeeren essen, also ${}4,76$ Kilogramm. Wegen ${}4760:1,5\sim 3173$ sind das ${}3173$ Heidelbeeren pro Tag. Die ${}16$ Stunden haben ${}16\cdot 3600=57600$ Sekunden. Es ist ${}57600:3173\sim 18,15$. Sie muss also alle ${}18,15$ Sekunden eine Heidelbeere essen.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Lemma 19.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1)

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

 

Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt: „Das ist paradox. Einerseits ist doch ${}{\frac {7}{3}}={\frac {14}{6}}$, aber andererseits ist

${}7=2\cdot 3+1\,$

und

${}14=2\cdot 6+2\,,$

die Reste bei der Division sind also verschieden“. Was ist davon zu halten?

Lösung

Rationale Zahlen/Division mit Rest/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Lösung

Beispielsweise ist

${}{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei Dezimalbrüche der Form

${}x=0,000\ldots 000a\,$

und

${}y=0,000\ldots 000b\,$

mit ${}a,b\in \{1,2,\ldots ,9\}$ gegeben. Dabei sei die Anzahl der Nullen nach dem Komma von ${}x$ gleich ${}m$ und von ${}y$ gleich ${}n$. Wie viele Nullen nach dem Komma besitzt das Produkt ${}xy$, und wovon hängt das ab?

Lösung

Es ist

${}x=a\cdot 10^{-m-1}\,$

und

${}y=b\cdot 10^{-n-1}\,.$

Somit ist

${}x\cdot y=a\cdot 10^{-m-1}\cdot b\cdot 10^{-n-1}=a\cdot b\cdot 10^{-m-n-2}\,.$

Wenn

${}a\cdot b<10\,,$

so kann man daraus direkt die Zifferenentwicklung des Produktes ablesen, und dieses hat ${}m+n+1$ Nullen hinter dem Komma. Bei ${}a\cdot b\geq 10$ ist

${}a\cdot b=c\cdot 10+d\,$

eine zweistellige Zahl im Dezimalsystem (wegen ${}a,b\leq 9$ kann das Produkt nocht höherstellig sein) und das Produkt besitzt ${}m+n$ Nullen hinter dem Komma.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${}*$ auf ${}\mathbb {Q}$ derart gegeben, dass ${}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${}1*1=1$. Zeige, dass ${}*$ die übliche Multiplikation sein muss.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass ${}1$ das neutrale Element zur Verknüpfung ${}*$ ist. Für eine natürliche Zahl ${}n$ ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

${}n*1=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*1=\underbrace {1*1+\cdots +1*1} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}}=n\,.$

Für negatives ${}m$ mit ${}m=-n$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

${}0=0*1=(n+m)*1=n*1+m*1=n+m*1\,$

und daraus folgt

${}m*1=-n=m\,.$

Für einen Bruch ${}{\frac {m}{n}}$ mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

${}\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}=m\,$

und

${}m=m*1={\left(\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*1=\underbrace {{\frac {m}{n}}*1+\cdots +{\frac {m}{n}}*1} _{n{\text{ Summanden}}}\,.$

Damit ist

${}{\frac {m}{n}}*1={\frac {m}{n}}\,,$

da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${}n$-fach mit sich selbst addiert ${}m$ ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen ${}n,m$

${}n*m=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*m=\underbrace {1*m+\cdots +1*m} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {m+\cdots +m} _{n{\text{ Summanden}}}=nm\,.$

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

${}{\frac {a}{b}}=1*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}+\cdots +{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}\,$

muss

${}{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}={\frac {a}{bn}}\,$

sein (für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$), da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${}n$-fach mit sich selbst addiert den Wert ${}{\frac {a}{b}}$ ergibt. Daher ist schließlich ist

${}{\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}=a*{\frac {1}{b}}*c*{\frac {1}{d}}=a*c*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}=(ac)*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{bd}}\,.$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}&={\frac {a+b}{(a-b)(a+b)}}+{\frac {a-b}{(a-b)(a+b)}}\\&={\frac {2a}{(a-b)(a+b)}}\\&={\frac {2a}{a^{2}-b^{2}}}\\&\geq {\frac {2a}{a^{2}}}\\&={\frac {2}{a}},\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher ${}a^{2}-b^{2}\leq a^{2}$ ist.

 

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die folgenden Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem,

1. ${}8574$,
2. ${}abcd$,
3. ${}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$,
4. ${}a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$,
5. ${}\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$.

Beschreibe die Abstraktionssprünge und was dadurch erreicht wird.

Lösung

Dezimalentwicklung/Abstraktionsstufe/Aufgabe/Lösung