Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	1	3	5	2	4	3	3	3	6	8	2	3	1	4	2	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Die Teilmenge ${}U$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
   1. ${}0\in U$.
   2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
   3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.
2. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Man sagt, dass ein Polynom ${}T\in K[X]$ ein Polynom ${}P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom ${}Q\in K[X]$ mit

   ${}P=TQ\,$

   gibt.

5. Die Sinusreihe ist

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

6. Die Ereignisse ${}E$ und ${}F$ heißen unabhängig, wenn

   ${}P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$

   ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}G/H$ die Quotientenmenge zur durch ${}H$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}G$ mit der kanonischen Projektion

   $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
2. Eine Dezimalbruchfolge

   ${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

   in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ ist eine

   Cauchy-Folge.
3. Die Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   besitzen für ${}x\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

   1. Es gilt

      ${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$

      für alle ${}x\in \mathbb {R}$.

   2. Es ist

      ${}-1\leq \cos x,\sin x\leq 1\,.$

   3. Es ist ${}\cos \left(-x\right)=\cos x$ und ${}\sin \left(-x\right)=-\sin x$.

Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=0\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Lösung

Daraus kann man nichts schließen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&-13&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-5&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&-{\frac {1}{13}}\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {5}{13}}&-{\frac {1}{13}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {5}{13}}&-{\frac {1}{13}}&{\frac {1}{26}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {2}{13}}&{\frac {3}{13}}&-{\frac {3}{26}}\\{\frac {5}{13}}&-{\frac {1}{13}}&{\frac {1}{26}}\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}2x\geq 7\,$

und

${}5x\leq 12\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Lösung

Es soll einerseits

${}x\geq {\frac {7}{2}}\,$

und andererseits

${}x\leq {\frac {12}{5}}\,$

sein. Wegen

${}{\frac {7}{2}}>{\frac {12}{5}}\,$

ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung. Wie viele Abbildungen

$s\colon N\longrightarrow M$

mit

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gibt es?

Lösung

Die Elemente aus ${}N$ seien mit ${}1,2,\ldots ,n$ bezeichnet. Zu jedem ${}i\in N$ sei

${}M_{i}={\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\,$

und

${}m_{i}={\#\left(M_{i}\right)}={\#\left({\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\right)}\,$

die Anzahl der Elemente aus ${}M$, die auf ${}i$ abgebildet werden (was ${}0$ sein kann). Da

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gelten soll, muss ${}s(i)\in M_{i}$ für jedes ${}i$ gelten. Somit gibt es

$m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}$

Möglichkeiten für solche Abbildungen.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.

Lösung

Nach Satz 41.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) gibt es nur eine Gruppenstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.

Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur ${}{\overline {1}}\,$ als neutrales Element der Multiplikation und

${}{\overline {a}}\,{\overline {b}}\,={\overline {ab}}\,\,$

als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also ${}{\overline {a}}\,={\overline {a'}}\,$ und ${}{\overline {b}}\,={\overline {b'}}\,$. Dann ist ${}a-a'\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b-b'\in {\mathfrak {a}}$ bzw. ${}a'=a+x$ und ${}b'=b+y$ mit ${}x,y\in {\mathfrak {a}}$. Daraus ergibt sich

${}a'b'=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy\,.$

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz ${}a'b'-ab\in {\mathfrak {a}}$ ist.

Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Lösung

Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die (bereits konstruierte) Quadratwurzel ${}{\sqrt {n}}$ als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge ${}1$, so erhält man eine Hypotenuse der Länge ${}{\sqrt {n+1}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$

ist.

Lösung

Da der Limes der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht ${}0$ ist, gilt für ${}n\geq N_{1}$ die Bedingung ${}\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit

${}{\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung

${}\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,18{\overline {374}}$

gegeben ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}0{,}18{\overline {374}}&=0{,}18+0{,}00{\overline {374}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 0{,}{\overline {374}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 374\cdot 0{,}{\overline {001}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 374\cdot {\frac {1}{999}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {374}{99900}}\\&={\frac {17982+374}{99900}}\\&={\frac {18356}{99900}}\\&={\frac {4589}{24975}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ beschränkt ist.

Lösung

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu ${}\epsilon =1$ ein ${}n_{0}$ derart, dass insbesondere

${}\vert {x_{n}-x_{n_{0}}}\vert \leq 1\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ ist. Wir setzen

${}B:=\operatorname {max} (\vert {x_{i}}\vert ,\,i\leq n_{0})+1\,,$

was offenbar eine Schranke liefert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ und es seien ${}x,y\in [a,b]$. Zeige

${}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$

Lösung

Es ist

${}x,y\leq b\,$

und wegen ${}x,y\geq a$ ist

${}-x,-y\leq -a\,.$

Bei ${}y\geq x$ ist somit

${}\vert {y-x}\vert =y-x\leq b+(-a)=b-a\,,$

bei ${}y<x$ ist ebenfalls

${}\vert {y-x}\vert =-(y-x)=x-y\leq b+(-a)=b-a\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ${}b_{j}=0$ ist für alle ${}j\neq i$ für ein festes ${}i$. Dann ist

$(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

ein Polynom vom Grad ${}n-1$, das an den Stellen ${}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert ${}0$ hat. Das Polynom

${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${}a_{i}$ den Wert ${}b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom ${}P_{i}$. Dann ist

${}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${}a_{i}$ gilt ja

${}P_{j}(a_{i})=0\,$

für ${}j\neq i$ und ${}P_{i}(a_{i})=b_{i}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)).

Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge ${}C$ aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist ${}f\sim g$, falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

${}f=g\cdot \alpha \,$

gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass aus ${}f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${}f$ und von ${}g$ übereinstimmen.
3. Zeige, dass die beiden Funktionen

   ${}f(x)=x\,$

   und

   ${}g(x)=x^{2}\,$

   nicht zueinander äquivalent sind.

Lösung

1. Es ist ${}f\sim f$, da

   ${}f=1\cdot f\,$

   ist, man also für ${}\alpha$ die konstante Funktion mit dem Wert ${}1$ nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei

   ${}f=g\cdot \alpha \,$

   mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion ${}\alpha$. Dann ist auch die Funktion

   ${\frac {1}{\alpha }}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\alpha (x)}},$

   wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) auch stetig. Damit gilt

   ${}f\cdot {\frac {1}{\alpha }}=g\,.$

   Zum Nachweis der Transitivität gelte

   ${}f=g\cdot \alpha \,$

   und

   ${}g=h\cdot \beta \,$

   mit stetigen nullstellenfreien Funktionen ${}\alpha ,\beta$. Dann ist

   ${}f=g\cdot \alpha =h\cdot \beta \cdot \alpha \,$

   und ${}\beta \cdot \alpha$ ist ebenfalls nach Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) eine stetige nullstellenfreie Funktion.

2. Es sei

   ${}f=g\cdot \alpha \,$

   mit ${}\alpha$ stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes ${}x\in \mathbb {R}$

   ${}f(x)=g(x)\cdot \alpha (x)\,.$

   Wegen

   ${}\alpha (x)\neq 0\,$

   gilt

   ${}f(x)=0\,$

   genau dann, wenn

   ${}g(x)=0\,$

   ist. Dies bedeutet, dass ${}f$ und ${}g$ die gleichen Nullstellen besitzen.

3. Nehmen wir an, dass ${}x$ und ${}x^{2}$ im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion ${}\alpha$ mit

   ${}x^{2}=\alpha (x)\cdot x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Für ${}x\neq 0$ bedeutet dies

   ${}\alpha (x)={\frac {x^{2}}{x}}=x\,.$

   Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von ${}\alpha$ bedeutet dies nach Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (2), dass auch

   ${}\alpha (0)=0\,$

   sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von ${}\alpha$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Q}$ nicht gelten muss.

Lösung

Die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$

ist stetig und es ist ${}f(0)=-2<0$ und ${}f(2)=2>0$. Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall ${}[0,2]$ eine Nullstelle geben, also ein ${}q\in \mathbb {Q}$ mit ${}q^{2}=2$. Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus ${}2$ irrational ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Lösung

Wegen

${}9^{2}=81>80=5\cdot 16\,$

ist

${}{\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}>5\,,$

also ist

${}{\frac {9}{4}}>{\sqrt {5}}\,.$

Somit ist

${}-{\frac {9}{4}}<-{\sqrt {5}}\,$

und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ${}1$ ist daher

${}{\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}<{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

${}r={\sqrt {2^{2}+10^{2}}}={\sqrt {104}}\,.$

Die Kreisgleichung ist somit

$(X-2)^{2}+(Y-7)^{2}=104.$

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir erweitern den Bruch mit ${}1/n^{3}$ ($n\geq 1$) und schreiben

${}{\begin{aligned}{\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7{\frac {n^{3}}{n^{3}}}+11{\frac {n}{n^{3}}}}{5{\frac {n^{3}}{n^{3}}}-4{\frac {n^{2}}{n^{3}}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\\&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7+11{\frac {1}{n^{2}}}}{5-4{\frac {1}{n}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\end{aligned}}$

Dabei konvergieren ${}11{\frac {1}{n^{2}}}$ und ${}-4{\frac {1}{n}}$ gegen ${}0$ und wegen ${}-1\leq \sin n,\cos n\leq 1$ konvergieren auch ${}{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}$ und ${}{\frac {\cos n}{n^{3}}}$ gegen ${}0$. Somit konvergiert die Folge gegen ${}-{\frac {7}{5}}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der ersten Ziehung die vorhergesagt Zahl gezogen wird, ist ${}{\frac {1}{49}}$, die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zweiten Ziehung die vorhergesagte Zahl gezogen wird, ist${}{\frac {1}{48}}$, u.s.w. Somit ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass die volle Ziehung vorhergesagt wird, gleich

${}{\frac {1}{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}}={\frac {1}{10068347520}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ${}xy$ eine Quadratzahl ist.

Lösung

Jedes Paar ${}(x,y)$ besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{100}}$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei

${}25=5^{2}\,,$

${}49=7^{2}\,,$

${}64=8^{2}\,,$

${}81=9^{2}\,$

und

${}100=10^{2}\,$

gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor ${}>10$ ist. Dies ergibt insgesamt ${}5$ Möglichkeiten. Bei

${}36=6^{2}=4\cdot 9\,$

gibt es drei Möglichkeiten (nämlich ${}(6,6),(4,9),(9,4)$), bei

${}16=4^{2}=2\cdot 8\,$

gibt es drei Möglichkeiten, bei

${}9=3^{2}=1\cdot 9\,$

gibt es drei Möglichkeiten, bei

${}4=2^{2}=4\cdot 1\,$

gibt es drei Möglichkeiten und bei

${}1=1^{2}\,$

gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also ${}18$ Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,

${}{\frac {18}{100}}={\frac {9}{50}}\,.$