Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/18/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 7 | 5 | 3 | 2 | 2 | 4 | 9 | 2 | 3 | 8 | 5 | 8 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Gerade in Punktvektorform im .
- Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
- Eine Relation auf einer Menge .
- Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
- Ein Winkel im Bogenmaß.
- Der Logarithmus zu einer reellen Basis , .
- Unter einer
Geraden in Punktvektorform
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .
- Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit
gibt.
- Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
- Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
- Der durch einen Kreisbogen der Länge definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
- Der Logarithmus zur Basis ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Restklassenkörper von .
- Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
- Der Satz über die Verteilung bei einem -fachen Münzwurf.
- Es sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper, wenn eine Primzahl ist.
- Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein
und ein derart gibt, dass für alle
die Abschätzung
gilt. Dann ist auch die durch (für hinreichend groß)
- Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem -fachen Münzwurf genau -fach Kopf fällt, beträgt
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
Es sei die Lösungsmenge nicht leer und sei ein beliebig gewählter Punkt. Es sei der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Lemma 34.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ein Untervektorraum von ist. Wir müssen die Mengengleichheit zeigen. Wenn ist, so bedeutet dies
für alle . Für ist dann
also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist . Wenn umgekehrt eine Lösung ist, so ist
und diese Differenz erfüllt
Also ist und somit .
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist . Dies beweisen wir durch Induktion über . Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Es sei die Aussage nun für Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau
Schnittpunkte (und wenn die Geraden weniger als Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als Schnittpunkte), was den Induktionsschritt beweist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (2 Punkte)
Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
wenn
eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.
Da der Funktionswert eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar . Wenn ist, so bedeutet das und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt , was wiederum bedeutet. Wenn und ist, so bedeutet dies einerseits und andererseits . Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt , was bedeutet.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme das inverse Element zu in .
Der euklidische Algorithmus liefert direkt
Somit ist
Daher ist
das inverse Element zu in .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.
Es seien und die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
angenommen. Wir setzen
und
Dann sind die -Umgebungen und disjunkt. Zu diesem gibt es ein (gemeinsames) derart, dass für alle die Folgenglieder und die Folgenglieder liegen. Somit ergibt sich
ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Aufgabe (9 (1+1+4+2+1) Punkte)
Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).
- Gehört zu ?
- Gehört zu ?
- Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
- Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
- Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?
- Es ist
die Periodenlänge ist also und somit gehört nicht zu .
- Es ist
die Periodenlänge ist also und somit gehört zu .
- Ein gekürzter Bruch gehört genau dann zu , wenn die Primfaktorzerlegung
mit besitzt. Es sei dazu . Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form
vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal im Nenner geschrieben werden. Das Element erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.
Es sei umgekehrt ein Bruch der Form
mit gegeben, wobei in der Primfaktor nicht mehr vorkommt. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche
besitzen die Periodenlänge .
- Die Null
(Periodenlänge null)
gehört zu und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus kann man nach Teil (3) als
(nicht unbedingt gekürzt)
und
schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir
annehmen. Daher ist
und dies gehört wieder zu . Somit handelt es sich um eine Untergruppe von .
- Es liegt kein Unterring vor, da
und
beide zu gehören, ihr Produkt, also , ist aber
und besitzt die Periodenlänge , gehört also nicht zu .
Aufgabe (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()
mit für alle , wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.
Sei und , dann sind alle geforderten Eigenschaften erfüllt, die Intervalllängen sind aber stets und somit bilden diese keine Nullfolge, es liegt also keine Intervallschachtelung vor.
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .
Betrachte das Polynom
Die Koeffizienten liegen in , aber nicht in . Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl einsetzt, so ist genau eine der Zahlen und gerade. Also ist ganzzahlig.
Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)
- Zeige die Abschätzungen
- Zeige die Abschätzungen
- Zeige die Abschätzung
- Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen
ist dies richtig.
- Nach Teil (1) ist
und damit ist
Wegen
ist
und damit
Nach Teil (1) ist
und damit ist
Wegen
ist
und damit
- Zunächst ist
da
ist. Somit gilt
Wegen
ist
und damit auch
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige
Skizziere die Situation.
Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung
gelten. Wegen
folgt daraus
Umstellen ergibt
und
und schließlich
Somit ist auch
und daher ist
Aufgabe (8 (3+2+2+1) Punkte)
Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei einer und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit auf eine . Ein Kind, das zuvor eine oder hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit auf eine und bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei der .
Adriane hatte zuletzt eine , dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin.
- Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine bekommt.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine bekommt?
- Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine . Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet (man denke an Kinder)?
- Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt?
- Um in den zwei Jahren auf eine zu kommen, gibt es nur die Möglichkeit, sich in beiden Jahren zu verbessern, die Wahrscheinlichkeit dafür ist
Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verbessern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit
Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, gibt es drei Möglichkeiten. Sie kann in beiden Jahren bei der gleichen Note bleiben oder sich zuerst verbessern und dann wieder verschlechtern oder umgekehrt. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit
Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verschlechtern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit
Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, muss sie sich in beiden Jahren verschlechtern. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit
Auf eine abzufallen hat die Wahrscheinlichkeit .
- Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass sie ihre nach zwei Jahren erworbene im dritten Jahr behält oder dass sie ihre vom zweiten Jahr im dritten Jahr verbessert. Unter Verwendung von Teil (1) ist dafür die Wahrscheinlichkeit gleich
- Der Klassendurchschnitt ist das arithmetische Mittel der Noten. Er ergibt sich, wenn man die Noten mit ihren Vielfachheiten aufaddiert und durch die Anzahl der Kinder dividiert. Dies führt auf
- Wenn alle Kinder bisher eine hatten, so haben nach einem Jahr bei Frau Popescu nur noch davon eine , der Notendurchschnitt verschlechtert sich also.