Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/18/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 7 5 3 2 2 4 9 2 3 8 5 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gerade in Punktvektorform im .
  2. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  3. Eine Relation auf einer Menge .
  4. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  5. Ein Winkel im Bogenmaß.
  6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis , .


Lösung

  1. Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum der Form

    mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .

  2. Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit

    gibt.

  3. Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  4. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  5. Der durch einen Kreisbogen der Länge definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
  6. Der Logarithmus zur Basis ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Restklassenkörper von .
  2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
  3. Der Satz über die Verteilung bei einem -fachen Münzwurf.


Lösung

  1. Sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper, wenn eine Primzahl ist.
  2. Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein und ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt. Dann ist auch die durch (für hinreichend groß)

    gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem -fachen Münzwurf genau -fach Kopf fällt, beträgt


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.


Lösung

Sei die Lösungsmenge nicht leer und sei ein beliebig gewählter Punkt. Es sei der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Lemma 34.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ein Untervektorraum von ist. Wir müssen die Mengengleichheit zeigen. Wenn ist, so bedeutet dies

für alle . Für ist dann

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist . Wenn umgekehrt eine Lösung ist, so ist

und diese Differenz erfüllt

Also ist und somit .


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.


Lösung

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist . Dies beweisen wir durch Induktion über . Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Sei die Aussage nun für Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau

Schnittpunkte (und wenn die Geraden weniger als Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als Schnittpunkte), was den Induktionsschritt beweist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Lösung

Da der Funktionswert eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar . Wenn ist, so bedeutet das und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt , was wiederum bedeutet. Wenn und ist, so bedeutet dies einerseits und andererseits . Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt , was bedeutet.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert direkt

Somit ist

Daher ist

das inverse Element zu in .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Lösung

Es seien und die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

angenommen. Wir setzen

und

Dann sind die -Umgebungen und disjunkt. Zu diesem gibt es ein (gemeinsames) derart, dass für alle die Folgenglieder und die Folgenglieder liegen. Somit ergibt sich

ein Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (9 (1+1+4+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?


Lösung

  1. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört nicht zu .

  2. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört zu .

  3. Ein gekürzter Bruch gehört genau dann zu , wenn die Primfaktorzerlegung

    mit besitzt. Sei dazu . Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

    vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal im Nenner geschrieben werden. Das Element erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

    Sei umgekehrt ein Bruch der Form

    mit gegeben, wobei in der Primfaktor nicht mehr vorkommt. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

    besitzen die Periodenlänge .

  4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) und schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir annehmen. Daher ist

    und dies gehört wieder zu . Somit handelt es sich um eine Untergruppe von .

  5. Es liegt kein Unterring vor, da und beide zu gehören, ihr Produkt, also , ist aber

    und besitzt die Periodenlänge , gehört also nicht zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

mit für alle , wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Lösung

Sei und , dann sind alle geforderten Eigenschaften erfüllt, die Intervalllängen sind aber stets und somit bilden diese keine Nullfolge, es liegt also keine Intervallschachtelung vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Lösung

Betrachte das Polynom

Die Koeffizienten liegen in , aber nicht in . Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl einsetzt, so ist genau eine der Zahlen und gerade. Also ist ganzzahlig.


Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

  1. Zeige die Abschätzungen
  2. Zeige die Abschätzungen
  3. Zeige die Abschätzung


Lösung

  1. Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen

    ist dies richtig.

  2. Nach Teil (1) ist

    und damit ist

    Wegen

    ist

    und damit

    Nach Teil (1) ist

    und damit ist

    Wegen

    ist

    und damit

  3. Zunächst ist

    da

    ist. Somit gilt

    Wegen

    ist

    und damit auch


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Lösung

Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung

gelten. Wegen

folgt daraus

Umstellen ergibt

und

und schließlich

Somit ist auch

und daher ist


Aufgabe (8 (3+2+2+1) Punkte)

Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei einer und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit auf eine . Ein Kind, das zuvor eine oder hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit auf eine und bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei der .

Adriane hatte zuletzt eine , dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine bekommt.
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine bekommt?
  3. Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine . Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet (man denke an Kinder)?
  4. Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt?


Lösung

  1. Um in den zwei Jahren auf eine zu kommen, gibt es nur die Möglichkeit, sich in beiden Jahren zu verbessern, die Wahrscheinlichkeit dafür ist

    Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verbessern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

    Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, gibt es drei Möglichkeiten. Sie kann in beiden Jahren bei der gleichen Note bleiben oder sich zuerst verbessern und dann wieder verschlechtern oder umgekehrt. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

    Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verschlechtern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

    Um nach zwei Jahren auf einer zu stehen, muss sie sich in beiden Jahren verschlechtern. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

    Auf eine abzufallen hat die Wahrscheinlichkeit .

  2. Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass sie ihre nach zwei Jahren erworbene im dritten Jahr behält oder dass sie ihre vom zweiten Jahr im dritten Jahr verbessert. Unter Verwendung von Teil (1) ist dafür die Wahrscheinlichkeit gleich
  3. Der Klassendurchschnitt ist das arithmetische Mittel der Noten. Er ergibt sich, wenn man die Noten mit ihren Vielfachheiten aufaddiert und durch die Anzahl der Kinder dividiert. Dies führt auf
  4. Wenn alle Kinder bisher eine hatten, so haben nach einem Jahr bei Frau Popescu nur noch davon eine , der Notendurchschnitt verschlechtert sich also.