Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 46

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass im Ring der rationalen Folgen die Teilmenge der Nullfolgen kein Ideal bildet.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.


Dieser Folgenring wird mit bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) kein Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe

Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cauchy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mit Hilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen?


Aufgabe

Wir nennen zwei Folgen und aus Cauchy-äquivalent, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Cauchy-Äquivalenz ist eine symmetrische und transitive Relation auf dem Folgenraum .
  2. Die Folge ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist.
  3. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation.
  4. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist.
  5. Wenn eine Cauchy-Folge ist und zu Cauchy-äquivalent ist, so ist auch eine Cauchy-Folge.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Es sei fixiert.

  1. Zeige, dass

    ein Ideal in ist.

  2. Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation?
  3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

    bijektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch

falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine Äquivalenzrelation definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem Ideal her?


Aufgabe

Es sei der Ring aller rationalen Folgen. Ist die Abbildung

die einer rationalen Zahl ihre Dezimalbruchfolge zuordnet, ein Ringhomomorphismus?


Aufgabe

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

und

wobei den Ring der rationalen Cauchy-Folgen und das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Zeige, dass es jeweils (über kanonische Repräsentanten) natürliche Abbildungen in die andere Richtung mit

gibt, die aber kein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?


Aufgabe

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?


Aufgabe

Es sei der Ring, der aus allen in konvergenten, rationalen Folgen besteht.

  1. Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein Ideal in bildet.
  2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

    gibt.

  3. Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus

    gibt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei die Menge der wachsenden Folgen in . Zeige, dass mit der gliedweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Halbring ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Folge in . Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge , mit dem Startwert repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9.


Aufgabe

Es sei die Menge aller reellen konvergenten Folgen und

die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist injektiv? Ist surjektiv?


Aufgabe

Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens


Aufgabe

Gibt es Gruppenhomomorphismen

die nicht -linear sind?


Aufgabe

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe

Es seien archimedisch angeordnete Körper. Es sei eine in konvergente Folge. Zeige, dass diese Folge auch in konvergiert.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper , die in einem größeren angeordneten Körper

nicht konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper, bei dem eine Teilmenge ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

  1. Für ist entweder oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .

Zeige, dass durch die Festlegung

ein angeordneter Körper entsteht.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller beschränkten Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge in . Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge , mit dem Startwert repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Es sei

die Menge aller Folgen über , bei denen nur endlich viele Glieder von verschieden sind.

  1. Zeige, dass ein Ideal in ist.
  2. Zeige, dass der Restklassenring kein Körper ist.



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