Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorlesung 35

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
„Man gibt seine Kinder auf die Schule, daß sie still werden, auf die Hochschule, daß sie laut werden.“



Lineare Abbildungen

Eine lineare Funktion über einem Körper ist einfach eine Abbildung der Form

mit einer Konstanten (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element kann man als eine -Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.


Definition  

Es sei ein Körper und . Eine Abbildung

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. für alle .
  2. für alle und .

Beispiel  

Es stehen verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das -te Produkt (pro Einheit) kostet. Ein Einkauf wird durch das -Tupel

repräsentiert, wobei die vom -ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch beschrieben. Die Preisabbildung

ist linear. Dies beruht auf

und

Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf tätigt und eine Woche später den Einkauf , dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag gekauft hätte.



Beispiel  

Es sei ein Körper und sei der -dimensionale Standardraum. Dann ist die -te Projektion, also die Abbildung

eine -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die -te Projektion heißt auch die -te Koordinatenfunktion.


Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.

Eine Achsenspiegelung an einer Achse.

Beispiel  

Die Abbildung

ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der -Achse.



Beispiel  

Die Abbildung

ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.




Lemma

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 35.7.



Lemma

Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]]

    ist ebenfalls linear.

  2. Wenn [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] ist, so ist auch die [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]]

    linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 35.8.


Nach Lemma 35.6 wird unter einer linearen Abbildung die auf die abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.


Definition  

Zu einer linearen Abbildung heißt

der Kern von .

Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des , siehe Aufgabe 35.31.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn ist.

Beweis  

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen anderen Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


So, wie eine lineare Funktion durch den Wert an einer einzigen Stelle festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen durch die Werte auf einer Basis des festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe Aufgabe 35.20 für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A. Aufgabe 35.1, Aufgabe 35.3 und Aufgabe 35.30.



Satz  

Es sei ein Körper und . Es seien , , Elemente in .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

mit

wobei den -ten Standardvektor bezeichnet.

Beweis  

Da sein soll und eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|lineare Abbildung]] nach Lemma 35.6  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \varphi { \left( u+v \right) } & = \varphi { \left( { \left( \sum_{i = 1}^n s_ie_i \right) } + { \left( \sum_{i = 1}^n t_i e_i \right) } \right) } \\ & = \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n { \left( {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex=s |#default=s }}_i + {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex=t |#default=t }}_i \right) } e_i \right) } \\ & = \sum_{i = 1}^n (s_i + t_i) \varphi { \left( e_i \right) } \\ & = \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) } + \sum_{i = 1}^n t_i \varphi (e_i) \\ & = \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) } + \varphi { \left( \sum_{i = 1}^nt_i e_i \right) } \\ & = \varphi (u) + \varphi (v) . \end{align} }

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 35.19.



Lineare Abbildungen und Matrizen

Beispiel  

Fruit salad (1).jpg

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.

Frucht Vitamin C Calcium Magnesium
Apfel 12 7 6
Orange 53 40 10
Traube 4 12 8
Banane 9 5 27

Dies führt zu einer Abbildung, die einem -Tupel , das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines -Tupels zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix

unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung

beschrieben werden.



Beispiel  

Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch und Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch und Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch, Gramm Äpfel und Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel , die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel

Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).



Definition  

Es sei ein Körper und seien . Zu einer linearen Abbildung

heißt die -Matrix

wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, die beschreibende Matrix zu (bezüglich der Standardbasen).

Zu einer Matrix heißt die durch

gemäß Satz 35.10 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.

Die zu einer -Matrix gehörende lineare Abbildung ist unmittelbar durch das Matrizenprodukt der Matrix mit den -Spaltentupeln gegeben, also gleich

Die -te Komponente des Ergebnisses ist ja einfach gleich .



Satz  

Es sei ein Körper und seien .

Dann sind die in Definition 35.13 festgelegten Abbildungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen invers zueinander.

Beweis  


Die folgende Aussage erklärt, warum das Matrizenprodukt so wichtig ist.



Satz  

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen.

Dann beschreibt das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.

Beweis  

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) } & = A(B(e_k)) \\ & = A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) } \\ & = \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default=\sum_{ i = 1 }^{ m } a_i }} \right) } \\ & = \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default= \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j }} \right) } e_i \\ & = \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i . \end{align} }

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .

Für die Beziehung zwischen linearen Abbildungen, Matrizen und linearen Gleichungssystemen siehe Aufgabe 35.16 und Aufgabe 35.17.

<< | Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)