Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorlesung 35

„Man gibt seine Kinder auf die Schule, daß sie still werden, auf die Hochschule, daß sie laut werden.“

Jean Paul (1763-1825)

Lineare Abbildungen

Eine lineare Funktion über einem Körper ${}K$ ist einfach eine Abbildung der Form

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

mit einer Konstanten ${}c$ (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element ${}c$ kann man als eine ${}1\times 1$- Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in K^{n}$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in K^{n}$.

Beispiel

Es stehen ${}n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das ${}i$-te Produkt (pro Einheit) ${}a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das ${}n$-Tupel

$\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

repräsentiert, wobei ${}x_{i}$ die vom ${}i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$

ist linear. Dies beruht auf

${}\varphi (x+y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}=\varphi (x)+\varphi (y)\,$

und

${}\varphi (sx)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}sx_{i}=s\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=s\varphi (x)\,.$

Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf ${}\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag ${}\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$- dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$

eine ${}K$- lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$-te Projektion heißt auch die ${}i$-te Koordinatenfunktion.

Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.

Eine Achsenspiegelung an einer Achse.

Beispiel

Die Abbildung

$K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,y),$

ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der ${}y$-Achse.

Beispiel

Die Abbildung

$K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,-y),$

ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 35.7.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}\psi \colon K^{p}\rightarrow K^{n}$ und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Hintereinanderschaltung

   $\varphi \circ \psi \colon K^{p}\longrightarrow K^{m}$

   ist ebenfalls linear.

2. Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon K^{m}\longrightarrow K^{n}$

   linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 35.8.

$\Box$

Nach Lemma 35.6 wird unter einer linearen Abbildung die ${}0$ auf die ${}0$ abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf ${}0$ abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.

Definition

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,$

der Kern von ${}\varphi$.

Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit ${}\varphi ^{-1}(0)$ bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des ${}K^{n}$, siehe Aufgabe 35.31.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben ${}0\in K^{n}$ keinen anderen Vektor ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=0$ geben. Also ist ${}\varphi ^{-1}(0)=0$.
Es sei umgekehrt ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien ${}v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit ${}v_{1}=v_{2}$.

$\Box$

So, wie eine lineare Funktion ${}\varphi \colon K\rightarrow K$ durch den Wert an einer einzigen Stelle ${}\neq 0$ festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ durch die Werte auf einer Basis des ${}K^{n}$ festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe Aufgabe 35.20 für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A. Aufgabe 35.1, Aufgabe 35.3 und Aufgabe 35.30.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

mit

$\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

wobei ${}e_{i}$ den ${}i$-ten Standardvektor bezeichnet.

Beweis

Da ${}\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Lemma 35.6  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$

indem wir jeden Vektor ${}v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als

${}v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$

schreiben und

${}\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 35.19.

$\Box$

Lineare Abbildungen und Matrizen

Beispiel

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.

Frucht	Vitamin C	Calcium	Magnesium
Apfel	12	7	6
Orange	53	40	10
Traube	4	12	8
Banane	9	5	27

Dies führt zu einer Abbildung, die einem ${}4$-Tupel ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}$, das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines ${}3$-Tupels ${}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$ zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix

${\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}$

unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12x_{1}+53x_{2}+4x_{3}+9x_{4}\\7x_{1}+40x_{2}+12x_{3}+5x_{4}\\6x_{1}+10x_{2}+8x_{3}+27x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

beschrieben werden.

Beispiel

Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt ${}500$ Gramm Mehl, ${}200$ Gramm Zucker, ${}100$ Gramm Butter, ${}250$ Gramm Milch und ${}300$ Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt ${}300$ Gramm Mehl, ${}230$ Gramm Zucker, ${}100$ Gramm Butter, ${}100$ Gramm Milch und ${}450$ Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt ${}400$ Gramm Mehl, ${}250$ Gramm Zucker, ${}150$ Gramm Butter, ${}200$ Gramm Milch, ${}500$ Gramm Äpfel und ${}100$ Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel ${}(x,y,z)$, die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel

$0{,}5x+0{,}3y+0{,}4z.$

Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).

$\mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{8},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}4\\0{,}2&0{,}23&0{,}25\\0{,}1&0{,}1&0{,}15\\0{,}25&0{,}1&0{,}2\\0{,}3&0&0\\0&0{,}45&0\\0&0&0{,}5\\0&0&0{,}1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt die ${}m\times n$- Matrix

${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$e_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}$

gemäß Satz 35.10 definierte lineare Abbildung die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Die zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M$ gehörende lineare Abbildung ist unmittelbar durch das Matrizenprodukt der Matrix mit den ${}n$-Spaltentupeln gegeben, also gleich

$K^{n}\longrightarrow K^{m},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Die ${}i$-te Komponente des Ergebnisses ist ja einfach gleich ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}$.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$.

Dann sind die in Definition 35.13 festgelegten Abbildungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen invers zueinander.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ mit ${}M(\varphi )$ und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit ${}\varphi (M)$. Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

und betrachten die Matrix

$M(\varphi (M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

${}{\begin{aligned}(M(\varphi (M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi (M))(e_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{k=1}^{m}a_{kj}e_{k}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

$\varphi (M(\varphi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Satz 35.10 überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist

${}(\varphi (M(\varphi )))(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M(\varphi )_{ij})\,e_{i}\,.$

Dabei ist nach Definition von ${}M(\varphi )$ der Koeffizient ${}(M(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis des ${}K^{m}$. Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (e_{j})$.

$\Box$

 

Die folgende Aussage erklärt, warum das Matrizenprodukt so wichtig ist.

Satz

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

$K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

die zugehörigen linearen Abbildungen.

Dann beschreibt das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.

Beweis

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{p}$ des ${}K^{p}$ nachweisen. Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}$

Dabei sind die Koeffizienten

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gerade die Einträge in der Produktmatrix ${}A\circ B$.

$\Box$

Für die Beziehung zwischen linearen Abbildungen, Matrizen und linearen Gleichungssystemen siehe Aufgabe 35.16 und Aufgabe 35.17.

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