Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 18/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Aufgabe 18.1 ändern
Es sei ein kommutativer Ring und sei mit der in Beispiel 17.9 eingeführten (additiven) - Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen - Algebra die induzierte Gruppenstruktur auf mit der Addition auf übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Hopf-Algebra zusammen mit einer Kooperation auf der kommutativen -Algebra . Wir betrachten die beiden - Algebrahomomorphismen
(die Kooperation) und
Zeige, dass die Menge
ein Unterring von ist.
Den in der vorstehenden Aufgabe definierten Unterring nennt man auch den Invariantenring der Kooperation.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere, und sei
eine Abbildung in eine weitere Menge . Zeige, dass genau dann - invariant ist, wenn das Diagramm
kommutiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra, auf der eine endliche Gruppe als Gruppe von - Algebraautomorphismen operiere.
- Definiere eine Kooperation der Hopf-Algebra auf derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.
- Zeige, dass der Invariantenring mit dem Invariantenring zur Kooperation übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel 17.11 beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei eine kommutative - Algebra.
- Es liege eine
-
Graduierung
von
(als -Algebra)
vor. Zeige, dass durch
eine - Kooperation der Hopf-Algebra auf festgelegt wird.
- Es liege eine -Kooperation
eine -Graduierung auf festgelegt wird.
- Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei . Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf derart, dass zu jeder kommutativen - Algebra ein natürlicher Gruppenisomorphismus
besteht.
Bei den beiden folgenden Aufgaben denke man an lineare Gleichungen, insbesondere daran, wie sich die Lösungen einer homogenen Gleichung zu den Lösungen einer inhomogenen Gleichung verhalten.
Aufgabe Aufgabe 18.7 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring, . Wir setzen
versehen mit der in Aufgabe 18.7 diskutierten Hopf-Algebrastruktur, und
Definiere eine Kooperation von auf (über ).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 18.6 ändern
Es sei ein kommutativer Ring und sei mit der in Beispiel 17.10 eingeführten (multiplikativen) - Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen - Algebra die induzierte Gruppenstruktur auf mit der Multiplikation übereinstimmt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und der zugehörige Gruppenring. Bestimme zu einer kommutativen -Algebra die Gruppe .
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